Đề thi học sinh giỏi Toán 9 năm 2023 - 2024 sở GD&ĐT Hà Nội

Đề thi học sinh giỏi Toán 9 năm 2023 - 2024 sở GD&ĐT Hà Nội

MeToan.Com giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 9 đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 9 cấp thành phố năm học 2023 - 2024 sở Giáo dục và Đào tạo thành phố Hà Nội; kỳ thi được diễn ra vào ngày 21 tháng 01 năm 2024; đề thi có đáp án và lời giải chi tiết.

Trích dẫn Đề thi học sinh giỏi Toán 9 năm 2023 - 2024 sở GD&ĐT Hà Nội:

• Cho ba số nguyên a; b; c thỏa mãn a < b < c và ab < bc < ca đều chia hết cho 8. Chứng minh rằng abc chia hết cho 64. Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x; y lớn hơn 1 sao cho x + y + 1 / (x * y) - 1 chia hết cho x.
• Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O); có H là trực tâm. Gọi O' là điểm đối xứng với điểm O qua đường thẳng BC. Đường thẳng đi qua điểm H vuông góc với đường thẳng HO' cắt các đường thẳng AB và AC theo thứ tự tại M; N. Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN.
  • a) Chứng minh rằng O' là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC.
  • b) Chứng minh rằng ba điểm A; H; I thẳng hàng.
  • c) Gọi P là giao điểm thứ hai của đường thẳng AH và đường tròn (OI). Q là giao điểm của hai đường thẳng OP và BC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai R. Chứng minh rằng đường thẳng QR song song với đường thẳng OI.
• Xét số nguyên n > 100 thỏa mãn tồn tại tập hợp S gồm n số thực dương sao cho với mỗi phần tử x của tập S đều tồn tại 100 phần tử khác x của tập S có tích bằng x. Hỏi n nhỏ nhất bằng bao nhiêu?