Đề thi học sinh giỏi Toán 9 năm 2020 - 2021 sở GD&ĐT Nam Định
Website MeToan.Com trân trọng giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh đề thi học sinh giỏi Toán 9 năm học 2020 - 2021 sở GD&ĐT Nam Định. Đề thi gồm 01 trang với 05 bài toán tự luận, thời gian làm bài 150 phút. Tài liệu có kèm theo đáp án, lời giải chi tiết và hướng dẫn chấm điểm.
Dưới đây là một số nội dung của đề thi học sinh giỏi Toán 9 năm 2020 - 2021 sở GD&ĐT Nam Định:
Bài 1:
Trên đường tròn (O) lấy ba điểm A, B, C sao cho tam giác ABC nhọn. Gọi AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC; đường thẳng EF cắt đường thẳng BC tại P. Qua D kẻ đường thẳng song song với đường thẳng EF cắt đường thẳng AC và AB lần lượt tại Q và R, M là trung điểm của BC.
- Chứng minh tứ giác BQCR là tứ giác nội tiếp.
- Chứng minh hai tam giác EPM và DEM đồng dạng.
- Giả sử BC là dây cung cố định không đi qua tâm O, A di động trên cung lớn BC của đường tròn (O). Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 2:
Cho 2021 số tự nhiên từ 4 đến 2024 trên bảng, mỗi lần thay một hoặc một vài số bởi tổng các chữ số của nó cho đến khi trên bảng chỉ còn lại các số từ 1 đến 9. Hỏi cuối cùng, trên bảng có bao nhiêu số 3, bao nhiêu số 7?
Bài 3:
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn $x^3 + y^3 + z^3 = 24$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$M = \frac{2}{xy} + \frac{8}{yz} + \frac{1}{zx} + \sqrt{\frac{xy}{yz}} + \sqrt{\frac{yz}{zx}} + \sqrt{\frac{zx}{xy}}.$
