Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 9 năm 2023 - 2024 Sở GD&ĐT Nam Định

Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 9 năm 2023 - 2024 Sở GD&ĐT Nam Định

MeToan.Com giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 9 đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán 9 THCS năm học 2023 – 2024 Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Nam Định; đề thi có đáp án và hướng dẫn chấm điểm.

Trích dẫn Đề học sinh giỏi tỉnh Toán 9 năm 2023 – 2024 Sở GD&ĐT Nam Định:

• Cho a, b là hai số nguyên dương sao cho 2a² + b² là số nguyên tố và p ≠ 5 chia hết cho 8. Xét x, y là hai số nguyên sao cho 2ax² + by² chia hết cho p. Chứng minh x, y cùng chia hết cho p.
• Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (O), (với A, B là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OM và AB. Kẻ đường kính BD của (O). Đường thẳng MD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là C. Tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) cắt MA, MB lần lượt tại E, F. Gọi G là giao điểm của đường thẳng OE và AD.
  • a) Chứng minh OCD ∽ OHD và 2ME.MF = EF.MH = MO².
  • b) Chứng minh tứ giác OAGH là hình bình hành.
  • c) Chứng minh các đường thẳng CD, HG, AF đồng quy.
• Trên một đường tròn cho 26 điểm phân biệt. Mỗi một điểm được tô bởi một trong 5 màu: trắng, xanh, đỏ, tím, vàng. Giữa mỗi cặp điểm nối với nhau bằng một đoạn thẳng được tô bởi một trong 2 màu: nâu hoặc đen. Chứng minh rằng luôn tồn tại một tam giác có ba đỉnh được tô cùng một màu (trắng, xanh, đỏ, tím hoặc vàng) và ba cạnh cũng được tô cùng một màu (nâu hoặc đen).