Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 9 năm 2014 - 2015 Sở GD&ĐT Ninh Bình

MeToan.Com giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh đề thi chọn học sinh giỏi Toán 9 THCS cấp tỉnh năm học 2014 - 2015 Sở GD&ĐT tỉnh Ninh Bình; kỳ thi được diễn ra vào ngày 04 tháng 03 năm 2015. Đề thi có đáp án, lời giải chi tiết và hướng dẫn chấm điểm.

Trích dẫn đề thi chọn học sinh giỏi Toán 9 năm 2014 - 2015 Sở GD&ĐT Ninh Bình:

1. Cho 3 số thực không âm x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2x² + 2y² + z² + 2√(xy) + 2√(yz) + 2√(zx).
2. Cho đường tròn tâm O, dây cung BC cố định. Điểm A trên cung nhỏ BC, A không trùng với B, C và điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Gọi H là hình chiếu của A trên đoạn thẳng BC; E, F thứ tự là hình chiếu của B và C trên đường kính AA’. Chứng minh rằng: a) Hai tam giác HEF và ABC đồng dạng với nhau. b) Hai đường thẳng HE và AC vuông góc với nhau. c) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF là điểm cố định khi A chuyển động trên cung nhỏ BC.
3. Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A, độ dài cạnh huyền bằng 2015. Trong tam giác ABC lấy 2031121 điểm phân biệt bất kỳ. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai điểm có khoảng cách không lớn hơn 1.