Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Tỉnh Toán 9 Năm 2017 - 2018 Sở GD&ĐT Thanh Hóa

Kỳ Thi Chọn Học Sinh Giỏi Tỉnh Toán 9 Năm 2017 - 2018 Tại Thanh Hóa

Vào ngày 10 tháng 03 năm 2018, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Thanh Hóa đã tổ chức kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 9 cho năm học 2017 - 2018. Kỳ thi này nhằm mục đích tuyển chọn những em học sinh lớp 9 có năng khiếu và đạt thành tích học tập xuất sắc môn Toán để tuyên dương, khen thưởng và tạo động lực phấn đấu cho học sinh toàn tỉnh. Những em học sinh được chọn từ kỳ thi này sẽ được tiếp tục bồi dưỡng để tham dự kỳ thi Học sinh giỏi Toán 9 cấp Quốc gia.

Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 9 năm 2017 - 2018 do Sở GD&ĐT Thanh Hóa tổ chức bao gồm 05 bài toán tự luận, thang điểm 20, thời gian làm bài 150 phút. Đề thi dài 01 trang, kèm theo hướng dẫn giải và thang điểm chi tiết.

Một số nội dung tiêu biểu trong đề thi:

• Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn p = a^2 + b^2 là số nguyên tố và p – 5 chia hết cho 8. Giả sử x, y là các số nguyên thỏa mãn ax^2 – by^2 chia hết cho p. Chứng minh rằng cả hai số x, y chia hết cho p.
• Biết phương trình (m – 2)x^2 – 2(m – 1)x + m = 0 có hai nghiệm tương ứng là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông. Tìm m để độ dài đường cao ứng với cạnh huyền của tam giác vuông đó bằng 2/√5.
• Cho tam giác ABC có (O), (I), (Ia) theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp và đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh A của tam giác với các tâm tương ứng là O, I, Ia. Gọi D là tiếp điểm của (I) với BC, P là điểm chính giữa cung BAC của (O), PIa cắt (O) tại điểm K. Gọi M là giao điểm của PO và BC, N là điểm đối xứng với P qua O.
  1. Chứng minh IBIaC là tứ giác nội tiếp.
  2. Chứng minh NIa là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác IaMP.
  3. Chứng minh DAI = KAIa.