Đề chọn đội tuyển HSG Toán 9 năm 2023 – 2024 trường chuyên Hà Nội – Amsterdam

Đề thi HSG Toán 9 năm 2023 – 2024 trường chuyên Hà Nội – Amsterdam

MeToan.Com trân trọng giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 9 đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi cấp thành phố môn Toán 9 năm học 2023 – 2024 trường THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam, thành phố Hà Nội. Kỳ thi được diễn ra vào ngày 21 tháng 12 năm 2023.

Dưới đây là một số bài toán tiêu biểu trong đề thi:

Bài 1: Cho các số nguyên m, n thỏa mãn mỗi số 2m + 5n và 2n + 5m là lập phương của một số nguyên. Chứng minh số K = m3 − n2 chia hết cho 9.

Bài 2: Cho đường tròn (O) có đường kính BC. Lấy A là một điểm bất kì thuộc đường tròn (A khác B, A khác C). Từ điểm M bất kì thuộc tia đối của tia CA (M khác C), vẽ tiếp tuyến ME, MF của đường tròn (O) (E, F là các tiếp điểm). Đường thẳng qua M vuông góc với BC tại I cắt BE, BF lần lượt tại T, Q.

1. Chứng minh rằng M là trung điểm QT.
2. Đường tròn ngoại tiếp BQT cắt đường tròn đường kính AC tại Z (Z khác A). Đường thẳng qua C, vuông góc với CM, cắt QT tại K. Dựng hình bình hành OCMW. Chứng minh KC = KZ.
3. Gọi U là trung điểm AB. Chứng minh rằng WMU = CZI.

Bài 3: Cho bảng ô vuông kích thước 2023 × 2024 gồm 2023 hàng và 2024 cột. Điền các số nguyên vào bảng sao cho ô nào cũng được điền và các số không nhất thiết phân biệt. Ta gọi một ô vuông 1 x 1 là tốt nếu số của nó nhỏ hơn trung bình cộng của tất cả các số cùng hàng với nó, đồng thời lớn hơn trung bình cộng của tất cả các số cùng cột với nó.

a. Chỉ ra một cách điền số để trên bảng có đúng 2023 ô vuông tốt. b. Tìm số lượng ô vuông tốt nhiều nhất có thể đạt được.