Đề chọn đội tuyển HSG Toán 9 năm 2020 - 2021 phòng GD&ĐT Yên Định - Thanh Hóa (vòng 2)

Kỳ thi chọn đội tuyển HSG Toán 9 vòng 2 năm học 2020 - 2021 tại Yên Định, Thanh Hóa

Vào ngày 20 tháng 10 năm 2020, phòng Giáo dục và Đào tạo huyện Yên Định, tỉnh Thanh Hóa đã tổ chức kỳ thi vòng 2 nhằm tuyển chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 9, tham dự kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh trong năm học 2020 - 2021.

Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 9 vòng 2 năm 2020 - 2021 của phòng GD&ĐT Yên Định - Thanh Hóa được biên soạn theo hình thức tự luận, gồm 05 bài toán trên 01 trang giấy, thời gian làm bài là 150 phút.

Một số nội dung nổi bật trong đề thi:

• Bài toán số học: Yêu cầu học sinh tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn phương trình (x^2 + y^2)/(x + y) = 85/13.
• Bài toán chứng minh: Cho các số nguyên dương x, y thỏa mãn: x^2 + y^2 = z^2. Chứng minh rằng biểu thức x^3y – xy^3 chia hết cho 84.
• Bài toán hình học phẳng: Cho đường tròn (O;R) và một điểm P cố định nằm ngoài đường tròn. Vẽ tiếp tuyến PA (A là tiếp điểm) và cát tuyến PBC bất kì (B, C khác A). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Vẽ đường kính AD của đường tròn (O).
  • Chứng minh đường thẳng DH đi qua trung điểm E của đoạn thẳng BC.
  • Gọi O’ là điểm đối xứng với O qua BC. Chứng minh OH có độ dài không đổi khi cát tuyến PBC quay quanh P.
  • Khi các tuyến PBC quay quanh P. Chứng minh rằng H di chuyển trên một đường cố định.