Bài Giảng Sự Đồng Biến Và Nghịch Biến Của Hàm Số - Phùng Hoàng Em

MeToan.Com giới thiệu đến quý thầy, cô giáo cùng các em học sinh tài liệu bài giảng sự đồng biến và nghịch biến của hàm số do thầy Phùng Hoàng Em biên soạn. Đây là nội dung đầu tiên trong chủ đề khảo sát hàm số và các bài toán liên quan thuộc chương trình Giải tích 12 chương 1.

Tài liệu gồm 17 trang tóm tắt các kiến thức cơ bản mà học sinh cần nắm từ sách giáo khoa, phân dạng, nêu rõ phương pháp giải cùng các bài tập trắc nghiệm về sự đồng biến và nghịch biến của hàm số. Tài liệu được thiết kế để dạy và học trong vòng 2 buổi học, phù hợp với học sinh đang bước đầu tìm hiểu kiến thức chủ đề tính đơn điệu của hàm số.

Khái quát nội dung tài liệu bài giảng sự đồng biến và nghịch biến của hàm số – Phùng Hoàng Em:

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a;b).
Các tính chất thường dùng cho hàm đơn điệu.
Liên hệ giữa đạo hàm và tính đơn điệu.

B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

DẠNG 1. Ứng dụng đạo hàm để tìm khoảng đơn điệu của một hàm cho trước.

Phương pháp giải:

Tìm tập xác định D của hàm số.
Tính y’ và giải phương trình y’ = 0 để tìm các nghiệm xi (nếu có).
Lập bảng xét dấu y’ trên miền D. Từ dấu y’ ta suy ra chiều biến thiên của hàm số.

DẠNG 2. Đọc khoảng đơn điệu của hàm số bằng hình ảnh đồ thị cho trước.

Phương pháp giải:

Nếu đề bài cho đồ thị y = f(x), ta chỉ việc nhìn các khoảng mà đồ thị “đi lên” hoặc “đi xuống”:
- Khoảng mà đồ thị “đi lên”: hàm đồng biến.
- Khoảng mà đồ thị “đi xuống”: hàm nghịch biến.
Nếu đề bài cho đồ thị y = f'(x). Ta tiến hành lập bảng biến thiên của hàm y = f(x) theo các bước:
- Tìm nghiệm của f'(x) = 0 (hoành độ giao điểm với trục hoành).
- Xét dấu f'(x) (phần trên Ox mang dấu dương, phần dưới Ox mang dấu âm).
- Lập bảng biến thiên của y = f(x), suy ra kết quả tương ứng.

DẠNG 3. Tìm m để hàm số bậc ba y = ax^3 + bx^2 + cx + d đơn điệu trên R.

DẠNG 4. Tìm m để hàm phân thức hữu tỉ y = (ax + b)/(cx + d) đơn điệu trên từng khoảng xác định.

Phương pháp giải:

Tính y’.
Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó ⇔ y’ > 0 ⇔ ad − cb > 0.
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó ⇔ y’ < 0 ⇔ ad − cb < 0.

DẠNG 5. Tìm khoảng đơn điệu khi biết đồ thị hàm f'(x).

Phương pháp giải:

Loại 1: Cho đồ thị y = f'(x), hỏi tính đơn điệu của hàm y = f(x).
Loại 2: Cho đồ thị y = f'(x), hỏi tính đơn điệu của hàm hợp y = f(u).
Loại 3: Cho đồ thị y = f'(x), hỏi tính đơn điệu của hàm y = g(x), trong đó g(x) có liên hệ với f(x).

DẠNG 6. Biện luận đơn điệu của hàm đa thức trên khoảng con của tập R.

Phương pháp giải:

Loại 1: Tìm điều kiện của tham số để hàm số y = ax^3 + bx^2 + cx + d đơn điệu trên toàn miền xác định R.
Loại 2: Tìm điều kiện của tham số để hàm số y = ax^3 + bx^2 + cx + d đơn điệu trên khoảng con của tập R. Ta thường gặp hai trường hợp:
- Nếu phương trình y’ = 0 giải được nghiệm “đẹp”: Ta thiết lập bảng xét dấu y’ theo các nghiệm vừa tìm (xét hết các khả năng nghiệm trùng, nghiệm phân biệt). Từ đó “ép” khoảng mà dấu y’ không thỏa mãn ra khỏi khoảng đề bài yêu cầu.
- Nếu phương trình y’ = 0 nghiệm “xấu”: Ta sử dụng 1 trong 2 cách sau:
  - Cách 1. Dùng định lý về so sánh nghiệm (sẽ nói rõ hơn qua bài giải cụ thể).
  - Cách 2. Cô lập tham số m, dùng đồ thị (cách này xét sau).
Loại 3: Tìm điều kiện của tham số để hàm số trùng phương y = ax^4 + bx^2 + c đơn điệu trên khoảng con của tập R.
- Giải phương trình y’ = 0 để tìm nghiệm.
- Biện luận các trường hợp nghiệm (nghiệm trùng, nghiệm phân biệt). Từ đó “ép” khoảng mà dấu y’ không thỏa mãn ra khỏi khoảng đề bài yêu cầu.

DẠNG 7. Biện luận đơn điệu của hàm phân thức.

Phương pháp giải:

Loại 1. Tìm điều kiện của tham số để hàm y = (ax + b)/(cx + d) đơn điệu trên từng khoảng xác định.
Loại 2. Tìm điều kiện để hàm y = (ax + b)/(cx + d) đơn điệu trên khoảng con của R.

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Gồm 60 bài tập trắc nghiệm chọn lọc tổng ôn chủ đề sự đồng biến và nghịch biến của hàm số.