Tuyển Tập Các Bài Toán Số Học Trong Đề Thi Vào Lớp 10 Chuyên Toán

Tài liệu dài 62 trang, do nhóm tác giả Mathpiad − Tạp chí và tư liệu toán học: Phan Quang Đạt − Nguyễn Nhất Huy − Dương Quỳnh Châu biên soạn, tổng hợp các bài toán số học tuyển chọn từ các đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán. Tài liệu kèm theo đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh tham khảo trong quá trình ôn tập chuẩn bị cho kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán.

Chương I: Một số kiến thức sử dụng trong tài liệu.

1. Các định nghĩa ngoài sách giáo khoa.

Số chính phương là số có thể biểu diễn dưới dạng bình phương của một số tự nhiên.
Số lập phương là số có thể biểu diễn dưới dạng lập phương của một số nguyên.

2. Các kí hiệu, quy ước ngoài sách giáo khoa.

Kí hiệu a | b dùng thay cho mệnh đề “a là ước của b”, và đọc là “a chia hết b”.
Kí hiệu (a,b) dùng để chỉ ước chung lớn nhất của a và b. Đôi lúc, nó còn dùng để chỉ cặp số (a,b), vì thế cần phân biệt rõ.
Kí hiệu a ≡ b (mod m) dùng thay cho mệnh đề “a và b có cùng số dư khi chia cho m” và đọc là “a đồng dư với b theo modulo m”.

3. Các hằng đẳng thức mở rộng. (Nội dung phần này được trình bày trong tài liệu)

4. Các tính chất về ước chung lớn nhất.

Với các số nguyên a, b, c khác 0 thỏa mãn c | ab và (a,c) = 1, ta có thể suy ra c | b.
Với các số nguyên a, b, c khác 0 thỏa mãn ab = c2 và (a,c) = 1, ta có |a| và |b| là hai số chính phương.
Với các số nguyên a, b, c khác 0 thỏa mãn ab = c3 và (a,c) = 1, ta có a và b là hai số lập phương.

5. Các tính chất về đồng dư thức và chia hết. (a) Tính chia hết của tổng, tích các số nguyên liên tiếp.

Tổng của n số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho n.
Tích của n số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho n!, ở đây n! là tích của tất cả các số tự nhiên từ 1 đến n. (b) Nếu a ≡ b (mod m). (Nội dung phần này được trình bày trong tài liệu) (c) Một số chính phương bất kì chỉ có thể:
Đồng dư với 0 hoặc 1 theo modulo 3.
Đồng dư với 0 hoặc 1 theo modulo 4.
Đồng dư với 0,1 hoặc 4 theo modulo 8. (d) Định lý Fermat nhỏ: Cho p là số nguyên tố và a là số nguyên dương thỏa mãn a không chia hết cho p, khi đó a p − 1 ≡ 1 (mod p).

6. Bổ đề kẹp. Giữa hai lũy thừa số mũ n liên tiếp, không tồn tại một lũy thừa cơ số n nào. Hệ quả: với mọi số nguyên a:

Không có số chính phương nào nằm giữa a2 và (a + 1)2.
Số chính phương duy nhất nằm giữa a2 và (a + 2)2 là (a + 1)2.
Có đúng k − 1 số chính phương nằm giữa a2 và (a + k)2.

7. Bổ đề về nghiệm nguyên của phương trình bậc hai. Nếu phương trình bậc hai với hệ số nguyên ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm nguyên (không nhất thiết phân biệt) thì ∆ = b2 −4ac là số chính phương.