Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên Lớp 8, Lớp 9 - Tạ Văn Đức

Trong chương trình Toán cấp Trung học Cơ sở, dạng toán phương trình nghiệm nguyên luôn là một chủ đề hay nhưng đầy thách thức đối với nhiều học sinh. Dạng toán này thường xuyên xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi Toán lớp 8 và lớp 9.

Nhằm hỗ trợ việc bồi dưỡng học sinh giỏi Toán, thầy Tạ Văn Đức đã biên soạn tài liệu “Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên”. Tài liệu này giới thiệu một cách tổng quan và dễ hiểu các phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên, giúp học sinh lớp 8 và lớp 9 có thể tự tin hơn khi gặp dạng toán này.

Nội dung chính của tài liệu:

Phương pháp 1: Áp dụng tính chia hết

1.1. Phương trình dạng ax + by = c
1.2. Đưa về phương trình ước số

Phương pháp 2: Phương pháp lựa chọn Modulo (xét số dư từng vế)

2.1. Xét số dư hai vế
2.2. Sử dụng số dư để chỉ ra phương trình vô nghiệm

Phương pháp 3: Sử dụng bất đẳng thức

3.1. Sắp thứ tự các biến trong phương trình mà các biến có vai trò như nhau
3.2. Áp dụng bất đẳng thức cổ điển
3.3. Áp dụng tính đơn điệu của từng vế
3.4. Dùng điều kiện delta ≥ 0 (hoặc delta’ ≥ 0) để phương trình bậc hai có nghiệm

Phương pháp 4: Phương pháp chặn (phương pháp đánh giá)

Dựa trên hai nhận xét:
- Không tồn tại số nguyên n thỏa mãn a² < n² < (a + 1)² với a là một số nguyên.
- Nếu a² < n² < (a + 2)² (với a và n là số nguyên) thì n = a + 1.

Phương pháp 5: Sử dụng tính chất của số chính phương

Một số tính chất thường được sử dụng:
- Số chính phương không tận cùng bằng 2, 3, 7, 8.
- Số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì chia hết cho p².
- Số chính phương khi chia cho 3, cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1.
- Số chính phương chia cho 5, cho 8 thì số dư chỉ có thể là 0, 1 hoặc 4.
- Số chính phương lẻ chia cho 4, 8 thì số dư đều là 1.
- Lập phương của một số nguyên chia cho 9 chỉ có thể dư 0, 1 hoặc 8.

Phương pháp 6: Phương pháp lùi vô hạn (phương pháp xuống thang)

Dùng để chứng minh một phương trình nào đó ngoài nghiệm tầm thường x = y = z = 0 thì không còn nghiệm nào khác.

Phương pháp 7: Nguyên tắc cực hạn (nguyên lí khởi đầu cực trị)

Về mặt hình thức thì phương pháp này khác với phương pháp lùi vô hạn nhưng về ý tưởng sử dụng thì như nhau, đều chứng minh phương trình ngoài nghiệm tầm thường không có nghiệm nào khác.

Phương pháp 8: Sử dụng mệnh đề cơ bản của số học.