Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề Hệ phương trình

Tài liệu gồm 108 trang, hướng dẫn phương pháp giải và tuyển chọn các bài tập chuyên đề hệ phương trình, có đáp án và lời giải chi tiết. Tài liệu này sẽ là hành trang bổ ích giúp học sinh lớp 9 ôn tập chuẩn bị cho kì thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Các bài toán trong tài liệu được trích từ các đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán của các sở GD&ĐT và các trường THPT chuyên trên toàn quốc.

Các dạng hệ phương trình

1. HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 1

Định nghĩa: Một hệ phương trình ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối xứng loại 1 nếu mỗi phương trình ta đổi vai trò của x, y cho nhau thì phương trình đó không đổi.
Tính chất: Nếu (x; y) là một nghiệm thì (y; x) cũng là nghiệm.
Cách giải: Đặt S = x + y, P = xy (điều kiện S² ≥ 4P) rồi quy hệ phương trình về hệ phương trình 2 ẩn S, P.

2. HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 2

Định nghĩa: Một hệ phương trình 2 ẩn x, y được gọi là đối xứng loại 2 nếu trong hệ phương trình ta đổi vai trò x, y cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia.
Tính chất: Nếu (x; y) là 1 nghiệm của hệ thì (y; x) cũng là nghiệm.
Phương pháp giải: Trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta được một phương trình có dạng: f(x, y) - f(y, x) = 0.

3. HỆ CÓ YẾU TỐ ĐẲNG CẤP

Đặc điểm: Là những hệ chứa các phương trình đẳng cấp, hoặc các phương trình của hệ khi nhân hoặc chia cho nhau thì tạo ra phương trình đẳng cấp.
Lưu ý: Một số hệ phương trình tính đẳng cấp được giấu trong các biểu thức chứa căn, đòi hỏi người giải cần tinh ý để phát hiện.
Phương pháp chung: Từ các phương trình của hệ ta nhân hoặc chia cho nhau để tạo ra phương trình đẳng cấp bậc n.

4. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

Cơ sở: Biến đổi tương đương là phương pháp giải hệ dựa trên những kỹ thuật cơ bản như: Thế / biến đổi các phương trình về dạng tích, cộng trừ các phương trình trong hệ để tạo ra phương trình hệ quả có dạng đặc biệt.

5. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

Cách thực hiện: Đặt ẩn phụ là việc chọn các biểu thức f(x, y), g(x, y) trong hệ phương trình để đặt thành các ẩn phụ mới làm đơn giản cấu trúc của phương trình, hệ phương trình. Qua đó tạo thành các hệ phương trình mới đơn giản hơn, hay quy về các dạng hệ quen thuộc như đối xứng, đẳng cấp.
Lưu ý: Để tạo ra ẩn phụ người giải cần xử lý linh hoạt các phương trình trong hệ thông qua các kỹ thuật: Nhóm nhân tử chung, chia các phương trình theo những số hạng có sẵn, nhóm dựa vào các hằng đẳng thức, đối biến theo đặc thù phương trình.

6. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HẰNG ĐẲNG THỨC

Đây là điểm mấu chốt khi giải hệ bằng phương pháp biến đổi theo các hằng đẳng thức.

7. KHI TRONG HỆ CÓ CHỨA PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 THEO ẨN x HOẶC y

Cách xử lý:
- Nếu ∆ chẵn, ta giải x theo y rồi thế vào phương trình còn lại của hệ để giải tiếp.
- Nếu ∆ không chẵn ta thường xử lý theo cách: Cộng hoặc trừ các phương trình của hệ để tạo được phương trình bậc hai có ∆ chẵn hoặc tạo thành các hằng đẳng thức.
- Dùng điều kiện ∆ ≥ 0 để tìm miền giá trị của biến x, y. Sau đó đánh giá phương trình còn lại trên miền giá trị x, y vừa tìm được.

8. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ

Yêu cầu: Để giải được hệ phương trình bằng phương pháp đánh giá ta cần nắm chắc các bất đẳng thức cơ bản như: Cauchy, Bunhiacopxki, các phép biến đổi trung gian giữa các bất đẳng thức, qua đó để đánh giá tìm ra quan hệ x, y. Ngoài ra ta cũng có thể dùng hàm số để tìm GTLN – GTNN từ đó có hướng đánh giá, so sánh phù hợp.