Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Và Cực Trị Hình Học Ôn Thi Vào Lớp 10

Tài liệu gồm 41 trang, hướng dẫn phương pháp giải và tuyển chọn các bài tập chuyên đề bất đẳng thức và cực trị hình học, có đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh lớp 9 ôn tập chuẩn bị cho kì thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán; các bài toán trong tài liệu được trích từ các đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán của các sở GD&ĐT và các trường THPT chuyên trên toàn quốc.

SỬ DỤNG CÁC TÍNH CHẤT HÌNH HỌC ĐƠN GIẢN

Bất đẳng thức liên hệ giữa độ dài các cạnh một tam giác:
- AB + AC > BC
- AB + BC > AC
- AC + BC > AB Chú ý rằng:
  - a. Với 3 điểm A, B, C bất kỳ ta luôn có: AB + BC ≥ AC. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A, B, C thẳng hàng và điểm B nằm giữa hai điểm A, C.
  - b. Với 3 điểm A, B, C bất kỳ ta luôn có: |AB - BC| ≤ AC. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A, B, C thẳng hàng và điểm B nằm giữa hai điểm A, C.
  - c. Cho hai điểm A, B nằm về một phía đường thẳng d. Điểm M chuyển động trên đường thẳng d. Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua d. Ta có kết quả sau:
    - MA + MB ≥ MA’ + MB’ ≥ AB. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M là giao điểm của AB’ và đường thẳng d (M trùng với M0).
    - |MA - MB| ≤ AB. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M là giao điểm của AB và đường thẳng d (M trùng với M1).
  - d. Cho hai điểm A, B nằm về hai phía đường thẳng d. Điểm M chuyển động trên đường thẳng d. Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua d. Ta có kết quả sau:
    - |MA - MB| ≤ AB. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M là giao điểm của AB và đường thẳng d (M trùng với M0).
    - MA + MB ≥ MA’ + MB’ ≥ AB. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M là giao điểm của AB’ và đường thẳng d (M trùng với M1).
  - e. Trong quá trình giải toán ta cần lưu ý tính chất: Đường vuông góc luôn nhỏ hơn hoặc bằng đường xiên. Trong hình vẽ: AH ≤ AB, AH ≤ AM1.
Trong một đường tròn, đường kính là dây cung lớn nhất.
Cho đường tròn (O; R) và một điểm A. Đường thẳng AO cắt đường tròn tại hai điểm M1 và M2. Giả sử AM1 ≤ AM2. Khi đó với mọi điểm M nằm trên đường tròn ta luôn có: AM1 ≤ AM ≤ AM2.

SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ

Ở cấp THCS, các em học sinh được làm quen với bất đẳng thức Cauchy dạng 2 số hoặc 3 số. Để giải quyết tốt các bài toán hình học: Ta cần nắm chắc một số kết quả quan trọng sau: Trước hết ta cần nắm được các kết quả cơ bản sau:

Cho các số thực dương a, b:
- (a + b)/2 ≥ √(ab). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b.
- (a2 + b2)/2 ≥ ab. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Cho các số thực dương a, b, c:
- (a + b + c)/3 ≥ √(abc). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
- (ab + bc + ca)/3 ≥ √(a2b2c2). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

Ngoài ra các em học sinh cần nắm chắc các công thức về diện tích tam giác liên hệ độ dài các cạnh và góc như: Diện tích hình chữ nhật; Diện tích hình thang; Diện tích hình vuông..