Chứng minh ba điểm thẳng hàng - ba đường thẳng đồng quy

Chứng Minh Ba Điểm Thẳng Hàng - Ba Đường Thẳng Đồng Quy

Tài liệu 80 trang này, biên soạn bởi thầy giáo Nguyễn Công Lợi, là cẩm nang hữu ích dành cho học sinh ôn thi vào lớp 10 môn Toán. Tài liệu hướng dẫn phương pháp và tuyển chọn các bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng - ba đường thẳng đồng quy, một dạng toán thường gặp trong các đề thi.

A. Các Bài Toán Về Ba Điểm Thẳng Hàng

I. Phương Pháp Chứng Minh

Góc bù nhau: Nếu ∠ABx + ∠xBC = 180° thì 3 điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó.
Đường thẳng song song: Qua một điểm ngoài đường thẳng chỉ kẻ được duy nhất một đường thẳng song song với nó (Tiên đề Euclid). Do đó, nếu AB và AC cùng song song với đường thẳng d, thì A, B, C thẳng hàng.
Đường thẳng vuông góc: Tương tự như trên, nếu AB và AC cùng vuông góc với đường thẳng d, thì A, B, C thẳng hàng.
Tia trùng nhau/đối nhau: Nếu hai tia MA, MB trùng nhau hoặc đối nhau thì 3 điểm M, A, B thẳng hàng.
Thêm điểm: Để chứng minh A, B, C thẳng hàng, ta có thể thêm điểm D rồi chứng minh hai trong ba bộ điểm A, B, D; A, C, D; B, C, D thẳng hàng.
Hình duy nhất: Để chứng minh A, B, C thẳng hàng với C thuộc hình H, ta gọi C’ là giao điểm của AB với hình H và chứng minh C trùng C’.
Định lý Menelaus: Cho tam giác ABC. Các điểm A’, B’, C’ lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB sao cho trong chúng hoặc không có điểm nào, hoặc có đúng 2 điểm thuộc các cạnh của tam giác ABC. Khi đó A’, B’, C’ thẳng hàng khi và chỉ khi (BA’/A’C).(CB’/B’A).(AC’/C’B)=1.

II. Ví Dụ Minh Họa

(Nội dung phần ví dụ minh họa được trình bày trong tài liệu)

B. Các Bài Toán Về Ba Đường Đồng Quy

I. Phương Pháp Chứng Minh

Chuyển đổi bài toán: Chuyển bài toán chứng minh ba đường thẳng đồng quy về bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Các đường đặc biệt: Chứng minh ba đường thẳng là đường trung tuyến, phân giác, đường cao, đường trung trực trong tam giác.
Điểm chung: Gọi giao điểm của hai đường thẳng là M và chứng minh đường thẳng còn lại cũng đi qua M.
Định lý Ceva: Cho tam giác ABC. Các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các đường thẳng BC, CA, AB. Khi đó ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy khi và chỉ khi (BA’/A’C).(CB’/B’A).(AC’/C’B)=1.