Các Dạng Toán Phương Trình Mặt Phẳng - Nguyễn Bảo Vương

Tài liệu gồm 68 trang được biên soạn bởi thầy Nguyễn Bảo Vương bao gồm tóm tắt lý thuyết, các dạng toán, hướng dẫn giải và bài tập về chủ đề phương trình mặt phẳng trong chương trình Hình học 12 chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian, các bài toán trong tài liệu có đáp án và lời giải chi tiết.

Các dạng toán về phương trình mặt phẳng và cách giải:

Dạng 1. Phương trình mặt phẳng

Phương pháp: Phương trình: Ax + By + Cz + D = 0 là phương trình của một mặt phẳng khi và chỉ khi A² + B² + C² > 0.

Chú ý: Đi kèm với họ mặt phẳng (Pm) thường có thêm các câu hỏi phụ:

Câu hỏi 1: Chứng minh rằng họ mặt phẳng (Pm) luôn đi qua một điểm cố định.
Câu hỏi 2: Cho điểm M có tính chất K, biện luận theo vị trí của M số mặt phẳng của họ (Pm) đi qua M.
Câu hỏi 3: Chứng minh rằng họ mặt phẳng (Pm) luôn chứa một đường thẳng cố định.

Dạng 2. Viết phương trình mặt phẳng

Phương pháp: Để viết phương trình mặt phẳng (P) ta có thể lựa chọn một trong các cách sau:

Cách 1: Thực hiện theo các bước:

Bước 1. Xác định điểm M₀(x₀; y₀; z₀) ∈ (P) và vectơ pháp tuyến (VTPT) n(n₁; n₂; n₃) của (P).
Bước 2. Khi đó, phương trình mặt phẳng (P): n₁(x − x₀) + n₂(y − y₀) + n₃(z − z₀) = 0.

Cách 2: Sử dụng phương pháp quỹ tích.

Chú ý: Chúng ta có các kết quả:

Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(x₀; y₀; z₀), luôn có dạng: (P): A(x − x₀) + B(y − y₀) + C(z − z₀) = 0.
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến (VTPT) n(n₁; n₂; n₃), luôn có dạng: (P): n₁x + n₂y + n₃z + D = 0. Để xác định (P), ta cần đi xác định D.
Mặt phẳng (P) song song với (Q): Ax + By + Cz + D = 0, luôn có dạng (P): Ax + By + Cz + E = 0. Để xác định (P), ta cần đi xác định E.
Phương trình mặt phẳng theo các đoạn chắn, đó là mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) có phương trình (P): x/a + y/b + z/c = 1.
Với phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm không thẳng hàng M, N, P chúng ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:
- Cách 1: Gọi n là vectơ pháp tuyến (VTPT) của mặt phẳng (P), ta có: n = [MN, MP]. Khi đó, phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và có vectơ pháp tuyến (VTPT) là n.
- Cách 2: Giả sử mặt phẳng (P) có phương trình: Ax + By + Cz + D = 0, (1) với A² + B² + C² > 0. Vì M, N, P thuộc mặt phẳng (P) nên ta có hệ ba phương trình với bốn ẩn A, B, C, D. Biểu diễn ba ẩn theo một ẩn còn lại, rồi thay vào (1) chúng ta nhận được phương trình mặt phẳng (P).

Dạng 3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Phương pháp: Sử dụng kiến thức trong phần vị trí tương đối của hai mặt phẳng.

Dạng 4. Vị trí tương đối của mặt cầu với mặt phẳng

Phương pháp: Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1. Xác định tâm I và tính bán kính R của mặt cầu (S). Xác định d = d(I, (P)).
Bước 2. So sánh d với R để đưa ra kết luận:
- Nếu d > R ⇔ (P) ∩ (S) = ∅.
- Nếu d = R ⇔ (P) tiếp xúc với (S) tại H.
- Nếu d < R ⇔ (P) ∩ (S) = (C) là một đường tròn nằm trong mặt phẳng (P).