Các Bài Toán Về Phần Nguyên Trong Số Học

Tài liệu gồm 33 trang, được trích đoạn từ cuốn sách "Phân dạng và phương pháp giải toán số học và tổ hợp" của tác giả Nguyễn Quốc Bảo, hướng dẫn giải các bài toán về phần nguyên trong số học, giúp học sinh ôn tập thi học sinh giỏi Toán bậc THCS và luyện thi vào lớp 10 môn Toán.

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Định nghĩa.
- Phần nguyên của số thực x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x, kí hiệu là [x].
- Phần lẻ của số thực x là hiệu của x với phần nguyên của nó, kí hiệu là {x}.
Tính chất.

(Xem chi tiết trong tài liệu)

B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Dạng 1: Tìm phần nguyên của một số hoặc một biểu thức.

Để tính giá trị một biểu thức chứa phần nguyên, ta cần sử dụng các tính chất của phần nguyên, kết hợp với các kĩ thuật tính toán khác đặc biệt là phương pháp “kẹp”.

Dạng 2: Chứng minh một đẳng thức chứa phần nguyên.

Chứng minh các hệ thức chứa phần nguyên thực chất có thể coi là chứng minh các tính chất của phần nguyên. Để chứng minh các hệ thức chứa phần nguyên ta phải sử dụng các tính chất đã được nêu trong phần lý thuyết, kết hợp với các kĩ thuật đại số và số học.

Dạng 3: Phương trình chứa phần nguyên.
1. Phương trình có dạng [f(x)] = a (a thuộc Z).
2. Phương trình có dạng [f(x)] = g(x).
3. Phương trình có dạng [f(x)] = [g(x)].
4. Phương trình chứa nhiều dấu phần nguyên.
5. Phương trình dạng hỗn hợp.

Sử dụng tính chất của phần nguyên, phân tích đa thức thành nhân tử, đặt ẩn phụ (nếu cần) để đưa về phương trình ít phần nguyên hơn.

Dạng 4: Bất phương trình chứa phần nguyên.

Khi giải bất phương trình có chứa dấu phần nguyên, ta thường đặt biểu thức [f(x)] = t (t nguyên) để chuyển về giải bất phương trình không còn chứa dấu phần nguyên, rồi vận dụng định nghĩa và tính chất của phần nguyên để tìm ra nghiệm của bất phương trình.