Bài Toán Về Quỹ Tích - Tập Hợp Điểm

Tài liệu gồm 59 trang, tuyển chọn bài toán về quỹ tích - tập hợp điểm hay và khó, có đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh tham khảo trong quá trình ôn tập thi vào lớp 10 môn Toán và ôn thi học sinh giỏi môn Toán bậc THCS.

I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Định nghĩa tập hợp điểm (quỹ tích).

Một hình H được gọi là tập hợp điểm của những điểm M thoả mãn tính chất T khi nó chứa và chỉ chứa tính chất T.

2. Phương pháp chủ yếu giải bài toán tập hợp điểm.

Để tìm tập hợp các điểm M thoả mãn tính chất T ta làm như sau:

Bước 1: Tìm cách giải:

Xác định các yếu tố cố định và không đổi.
Xác định các điều kiện của điểm M.
Dự đoán tập hợp điểm.

Bước 2: Trình bày lời giải:

Phần thuận: Chứng minh điểm M có tính chất T thuộc hình H.
Giới hạn: Căn cứ vào các vị trí đặc biệt của điểm M, chứng tỏ điểm M chỉ thuộc vào hình H, hoặc một phần B của hình H (nếu được).
Phần đảo: Chứng minh mọi điểm thuộc hình H (quỹ tích đã được giới hạn) có tính chất T. Thường làm như sau:
- Lấy điểm M thuộc hình H (quỹ tích đã được giới hạn), giả sử tính chất T gồm n điều kiện.
- Dựng một hình để chứng minh M có tính chất T sao cho M thoả mãn n − 1 điều kiện trong tính chất T và chứng minh M có thoả mãn điều kiện còn lại.
Kết luận:Tập hợp điểm M là hình H. Nêu rõ hình dạng và cách xác định hình H.

Chú ý:

Việc tìm ra mối liên hệ giữa các yếu tố cố định, không đổi với yếu tố chuyển động là khâu chủ yếu giúp ta giải quyết bài toán tập hợp điểm.
Nếu bài toán chỉ hỏi “Điểm M chuyển động trên đường nào?” thì ta chỉ trình bày phần thuận, phần giới hạn và phần kết luận mà không cần không chứng minh phần đảo.
Giải bài toán tập hợp điểm thường là tìm cách đưa về tập hợp điểm cơ bản đã học.
Để khỏi vẽ hình lại khi chứng minh phần đảo tên các điểm trong phần đảo nên giữ nguyên như phần thuận.

3. Một số tập hợp điểm cơ bản.

a) Tập hợp điểm là đường trung trực hoặc một phần đường trung trực.

Định lí: Tập hợp các điểm M cách đều hai điểm phân biệt A, B cố định là đường trung trực d của đoạn thẳng AB.

b) Tập hợp điểm là tia phân giác.

Định lí: Tập hợp các điểm nằm trong góc xOy (khác góc bẹt) và cách đều hai cạnh của góc là tia phân giác của góc đó.

Hệ quả: Tập hợp các điểm M cách đều hai đường thẳng cắt nhau xOx’ và yOy’ là bốn tia phân giác của bốn góc tạo thành, bốn tia này tạo thành hai đường thẳng vuông góc với nhau tại giao điểm O của hai đường thẳng đó.

c) Tập hợp điểm là đường thẳng song song.

Định lý 1: Tập hợp các điểm M cách đường thẳng h cho trước một khoảng bằng a không đổi là hai đường thẳng song song với đường thẳng đã cho và cách đường thẳng đó bằng a.

Định lí 2: Tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng song song cho trước là một đường thẳng song song và nằm cách đều hai đường thẳng đã cho.

d) Tập hợp điểm là đường tròn, một phần của đường tròn, cung chứa góc.

Tập hợp các điểm M cách điểm O cho trước một khoảng không đổi r là đường tròn tâm O bán kính r.
Tập hợp các điểm nhìn đoạn thẳng cố định AB dưới góc 90° là đường tròn đường kính AB.
Tập hợp các điểm M tạo thành với hai mút của đoạn thẳng AB cho trước một góc AMB có số đo không đổi là α là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB.

II. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

IV. HƯỚNG DẪN GIẢI