Bài Toán Tìm Hình Chiếu Của Điểm Trên Mặt Phẳng Tọa Độ

Tìm Hiểu Về Bài Toán Tìm Hình Chiếu Của Điểm Trên Mặt Phẳng Tọa Độ

Tài liệu gồm 13 trang được biên soạn bởi tập thể quý thầy, cô giáo Nhóm Word Và Biên Soạn Tài Liệu Môn Toán THPT 2020, hướng dẫn giải bài toán tìm hình chiếu của điểm trên mặt phẳng tọa độ, được phát triển dựa trên câu 13 đề thi tham khảo THPT Quốc gia môn Toán năm học 2019 – 2020 do Bộ Giáo dục và Đào tạo công bố.

Dưới đây là giới thiệu sơ lược về nội dung tài liệu:

1. Xác Định Hình Chiếu Của Điểm Trên Các Trục Và Mặt Phẳng Tọa Độ

Cho điểm M(x;y;z), ta có các hình chiếu của M như sau:

• Trên trục Ox: M1(x;0;0)
• Trên trục Oy: M2(0;y;0)
• Trên trục Oz: M3(0;0;z)
• Trên mặt phẳng (Oxy): M4(x;y;0)
• Trên mặt phẳng (Oyz): M5(0;y;z)
• Trên mặt phẳng (Ozx): M6(x;0;z)

2. Tìm Hình Chiếu Của Điểm Lên Mặt Phẳng

Để tìm hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (α), ta thực hiện các bước:

• Bước 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (α).
• Bước 2: Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (α). Giao điểm này chính là hình chiếu H cần tìm.

3. Tìm Hình Chiếu Của Đường Thẳng Lên Mặt Phẳng

Cách 1:

• Trường hợp 1: Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (α) thì hình chiếu d' của d cũng song song với d. Ta lấy một điểm M bất kỳ thuộc d, tìm hình chiếu M' của M trên (α). Đường thẳng d' chính là đường thẳng đi qua M' và song song với d.
• Trường hợp 2: Nếu đường thẳng d cắt (α) tại M, ta lấy một điểm N bất kỳ thuộc d (khác M) và tìm hình chiếu N' của N trên (α). Đường thẳng d' chính là đường thẳng đi qua hai điểm M và N'.

Cách 2:

• Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng (β) chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (α).
• Bước 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (β). Giao tuyến này chính là hình chiếu d' cần tìm.

4. Tìm Hình Chiếu Của Điểm Lên Đường Thẳng

Cách 1:

• Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A và vuông góc với đường thẳng d.
• Bước 2: Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Giao điểm này chính là hình chiếu A' cần tìm.

Cách 2:

• Bước 1: Gọi A'(t) là điểm di động trên đường thẳng d. Từ đó, biểu diễn tọa độ của A' theo tham số t.
• Bước 2: Lập phương trình $\overrightarrow{AA'} . \overrightarrow{u_d} = 0$, trong đó $\overrightarrow{u_d}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng d. Giải phương trình này để tìm giá trị của t. Thay giá trị t tìm được vào tọa độ của A' để thu được kết quả.

5. Tìm Điểm Đối Xứng Qua Mặt Phẳng

Để tìm điểm M' đối xứng với điểm M qua mặt phẳng (P), ta thực hiện các bước:

• Bước 1: Tìm hình chiếu H của điểm M trên mặt phẳng (P). Điểm H này chính là trung điểm của đoạn thẳng MM'.
• Bước 2: Sử dụng công thức tính tọa độ trung điểm để tính tọa độ của điểm M'. Cụ thể, nếu gọi tọa độ của M là (xM, yM, zM) và tọa độ của H là (xH, yH, zH) thì tọa độ của M' sẽ là (2xH - xM, 2yH - yM, 2zH - zM).