Mặt Cầu Ngoại Tiếp, Nội Tiếp Khối Đa Diện

Tài liệu gồm 22 trang trình bày phương pháp giải toán và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết chủ đề mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp khối đa diện.

I. PHƯƠNG PHÁP

1. Chứng minh mặt cầu S(O;R) ngoại tiếp đa diện

Thông thường ta chứng minh mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của đa diện thông qua một số nhận xét quan trọng sau:

Điểm M thuộc S(O;R) ⇔ OM = R.
Điểm M thuộc S(O;R) khi chỉ khi M nhìn đường kính của mặt cầu dưới 1 góc vuông.

2. Điều kiện cần và đủ

Để một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp là đáy của hình chóp có đường tròn ngoại tiếp.
Để một hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp là hình lăng trụ đó phải là hình lăng trụ đứng và có đáy lăng trụ là một đa giác nội tiếp.

3. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng

Cho đoạn thẳng AB. Mặt phẳng (α) được gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB khi mp (α) đi qua trung điểm I của AB và vuông góc với AB.

Lưu ý: (α) là tập hợp tất cả các điểm M trong không gian cách đều A, B.

Dạng toán: CHỨNG MINH KHỐI ĐA DIỆN NỘI TIẾP MẶT CẦU

1. Thuật toán 1: SỬ DỤNG MỘT TRỤC XÁC ĐỊNH TÂM MẶT CẦU NGOẠI TIẾP ĐA DIỆN

Cho hình chóp SA1A2 … An (thoả mãn điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp). Thông thường, để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo hai bước:

Bước 1: Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Dựng Δ: trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
Bước 2: Lập mặt phẳng trung trực (α) của một cạnh bên.

Lúc đó:

Tâm O của mặt cầu: Δ ∩ mp(α) = O.
Bán kính: R = OA (= OS). Tuỳ vào từng trường hợp.

2. Thuật toán 2: SỬ DỤNG HAI TRỤC XÁC ĐỊNH TÂM MẶT CẦU NGOẠI TIẾP ĐA DIỆN

Cho hình chóp SA1A2 … An (thỏa mãn điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp). Thông thường, để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo hai bước:

Bước 1: Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Dựng Δ: trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
Bước 2: Xác định trục d của đường tròn ngoại tiếp một mặt bên (dễ xác định) của khối chóp.

Lúc đó: