Đề thi Olympic Toán 10 năm 2023 - 2024 liên cụm trường THPT - Hà Nội

MeToan.Com giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 10 đề thi Olympic môn Toán 10 năm học 2023 - 2024 liên cụm trường THPT, thành phố Hà Nội; kỳ thi được diễn ra vào ngày 09 tháng 03 năm 2024. Đề thi có đáp án và hướng dẫn chấm điểm.

Trích dẫn Đề thi Olympic Toán 10 năm 2023 - 2024 liên cụm trường THPT - Hà Nội:

• Bài 1: Cho hàm số y = (2x² + mx + m² - 1) / (m + 1) có đồ thị (P) (m là tham số).
  1. Chứng minh với mọi m ≠ -1 đồ thị (P) luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.
  2. Gọi A, B là hai giao điểm phân biệt của đồ thị (P) với trục hoành, C là giao điểm của đồ thị (P) với trục tung và G là trọng tâm của tam giác ABC. Tìm tập hợp trọng tâm G của tam giác ABC khi m thay đổi.
• Bài 2: Một nông trại dự định trồng cà rốt và khoai tây trên khu đất có diện tích 5 ha. Để chăm bón các loại cây này, nông trại phải dùng phân vi sinh. Nếu trồng cà rốt trên 1 ha cần dùng 3 tấn phân vi sinh và thu được 50 triệu đồng tiền lãi. Nếu trồng khoai tây trên 1 ha cần dùng 5 tấn phân vi sinh và thu được 75 triệu đồng tiền lãi. Hỏi nông trại cần trồng mỗi loại cây trên diện tích là bao nhiêu để thu được tổng số tiền lãi cao nhất? Biết rằng số phân vi sinh cần dùng không được vượt quá 18 tấn.
• Bài 3: Từ tập A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} lập được bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số, trong đó có hai chữ số lẻ khác nhau và ba chữ số chẵn khác nhau, mà mỗi chữ số chẵn có mặt đúng hai lần?