Đề thi Olympic 30/4 Toán 10 năm 2021 trường chuyên Lê Hồng Phong - TP.HCM
Đề thi Olympic 30/4 Toán 10 năm 2021 trường chuyên Lê Hồng Phong - TP.HCM
Vào ngày 03 tháng 04 năm 2021, trường THPT chuyên Lê Hồng Phong, quận 5, thành phố Hồ Chí Minh đã tổ chức kỳ thi Olympic truyền thống 30 tháng 4 môn Toán lớp 10 lần thứ XXVI (26) năm 2021.
Đề thi được biên soạn theo hình thức tự luận, gồm 01 trang với 05 bài toán, thời gian làm bài 180 phút. Đề thi có đáp án, lời giải chi tiết và hướng dẫn chấm điểm.
Dưới đây là trích dẫn một số bài toán trong đề thi:
Bài toán 1: Với số nguyên dương n ≥ 2, xét bảng vuông gồm có (2n - 1) x (2n - 1) ô vuông, người ta viết vào mỗi ô chỉ một trong 3 số 1, 0 hoặc -1 sao cho trong mỗi bảng con 2 x 2 luôn tìm được 3 ô có tổng bằng 0. Gọi Sn là giá trị lớn nhất của tổng tất cả các số trong bảng. Chứng minh Sn = n(n + 1).
Bài toán 2: Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Tia AO cắt đoạn thẳng BC tại L. Gọi A' là điểm đối xứng với A qua đường thẳng BC. Giả sử tiếp tuyến qua A' của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt các tia AB, AC lần lượt tại các điểm D, E.
- a. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp các tam giác A'BD, A'CE, A'AL cùng đi qua một điểm khác A'.
- b. Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác JDE tiếp xúc với (O).
Bài toán 3: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Chứng minh: a2 + b2 + c2 + 2abc < 2.
