Đề thi Olympic 30/04 Toán 10 lần 28 năm 2024 trường chuyên Lê Quý Đôn – BR VT

Website MeToan.Com xin giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 10 đề thi Olympic truyền thống 30 tháng 04 môn Toán 10 lần thứ 28 năm 2024 trường THPT chuyên Lê Quý Đôn, tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu. Đề thi có đáp án và hướng dẫn chấm điểm.

Trích dẫn nội dung Đề thi Olympic 30/04 Toán 10 lần 28 năm 2024 trường chuyên Lê Quý Đôn – BR VT:

• Bài 1: Xét hai số nguyên tố p, q thay đổi sao cho tồn tại số nguyên dương n thỏa mãn đẳng thức 1/(2pq) = n(p + q)n. Tìm tập hợp giá trị của biểu thức q/p.
• Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) có M là trung điểm BC. Giả sử đường tròn (M, MA) cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại D, E (khác A).
  • a) Chứng minh BA/BD = CA/CE.
  • b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt (M, MA) tại F (khác A). Chứng minh các đường thẳng BC, DE và tiếp tuyến tại F của (M, MA) đồng quy.
  • c) Gọi G là giao điểm của các đường thẳng BE, CD và L là điểm đối xứng của G qua M. Chứng minh L thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB.
• Bài 3: Trên bảng có viết các số 1, 2, 3, ..., 2024 gồm 2024 số nguyên dương đầu tiên. Người ta thực hiện liên tiếp thao tác sau: mỗi lần chọn tùy ý hai số x, y ở trên bảng sao cho x + y ≥ 2 rồi xóa hai số này đi và thay bởi hai số x + y - 1, 1. Nếu từ các số trên bảng mà không thể thực hiện được thao tác như trên, ta gọi đó là trạng thái dừng.
  • a) Chứng minh dù có thực hiện như thế nào theo quy luật trên thì sau hữu hạn thao tác cũng sẽ đạt được trạng thái dừng.
  • b) Gọi S là số thao tác thực hiện để đạt trạng thái dừng. Tìm giá trị nhỏ nhất của S.