Đề thi HSG Toán 10 Trại hè Hùng Vương lần thứ 18 năm 2024 có đáp án

Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 10 Trại hè Hùng Vương lần thứ 18 năm 2024 có lời giải

Website MeToan.Com chia sẻ đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 10 đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 10 Trại hè Hùng Vương lần thứ 18 năm 2024. Kỳ thi được diễn ra vào ngày 02 tháng 08 năm 2024. Đề thi có đáp án và lời giải chi tiết.

Trích dẫn nội dung Đề thi HSG Toán 10 Trại hè Hùng Vương lần thứ 18 năm 2024:

Bài 1: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Điểm M thuộc tia đối của tia CA (M khác C). Lấy D đối xứng với B qua M, AD cắt (O) tại điểm thứ hai là E. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD cắt AB tại điểm thứ hai là F.

a) Gọi I là giao điểm khác A của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD. Chứng minh rằng AI vuông góc BD.

b) Gọi S là giao điểm khác A của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF và AC, đường trung trực của SI cắt BD tại J. Chứng minh rằng J, E, F thẳng hàng.

Bài 2: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a^3 + b^3 + c^3 + abc = 5. Chứng minh rằng a + b + c <= 1 + abc.

Bài 3: Trong một chiếc hộp chứa 2024 viên bi có cùng kích thước, trên mỗi viên bi được ghi một số nguyên dương từ 1 đến 2024, hai số ghi trên hai viên bi bất kì là khác nhau. Bạn An lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp, ghi lại số trên viên bi lên bảng rồi trả lại viên bi vừa lấy vào hộp. Tiếp theo hai bạn Hùng và Vương lần lượt thực hiện như bạn An.

a) Tính xác suất để 3 số ghi được trên bảng giống nhau.

b) Chứng minh rằng xác suất để tổng 3 số ghi được trên bảng là số chính phương bé hơn 1.