Đề thi HSG Toán 10 năm 2019 cụm trường THPT chuyên DH&ĐB Bắc Bộ

Ngày 20 tháng 04 năm 2019, cụm các trường THPT chuyên khu vực Duyên hải và Đồng bằng Bắc Bộ đã liên kết tổ chức kỳ thi giao lưu học sinh giỏi Toán 10 lần thứ 12 năm học 2018 – 2019.

Đề thi HSG Toán 10 năm 2019 cụm trường THPT chuyên DH&ĐB Bắc Bộ được biên soạn theo hình thức tự luận với 5 bài toán. Đề thi gồm 1 trang, thời gian làm bài là 180 phút. Đề thi có lời giải chi tiết và thang điểm.

Dưới đây là trích dẫn nội dung một số bài toán trong đề thi:

Bài toán 1: Cho bảng ô vuông kích thước 100 x 100 mà mỗi ô được điền một trong các ký tự A, B, C, D sao cho trên mỗi hàng, mỗi cột của bảng thì số lượng ký tự từng loại đúng bằng 25. Ta gọi hai ô thuộc cùng hàng (không nhất thiết kề nhau) nhưng được điền khác ký tự là “cặp tốt”, còn hình chữ nhật có các cạnh song song với cạnh hoặc nằm trên cạnh của bảng và bốn ô vuông đơn vị ở bốn góc của nó được điền đủ bốn ký tự A, B, C, D là “bảng tốt”.

a) Hỏi trong các cách điền ở trên, có bao nhiêu cách điền mà mỗi bảng ô vuông 1 x 4, 4 x 1 và 2 x 2 đều có chứa đủ các ký tự A, B, C, D? b) Chứng minh rằng với mọi cách điền thỏa mãn đề bài thì trên bảng ô vuông đã cho: i) Luôn có 2 cột của bảng mà từ đó có thể chọn ra được 76 cặp tốt. ii) Luôn có một bảng tốt.

Bài toán 2: Cho tam giác ABC có AB = AC, các điểm D, E, F lần lượt nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho DE // AB, DF // AC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF tại các điểm A, G. Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF tại điểm H (H khác E). Đường thẳng qua G vuông góc với GH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm K (K khác G), đường thẳng qua G vuông góc với GC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF tại điểm L (L khác G). Gọi P, Q lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác GDK, GDL. Chứng minh rằng khi điểm D thay đổi trên cạnh BC thì:

a) Đường tròn ngoại tiếp tam giác GEF luôn đi qua hai điểm cố định. b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác GPQ luôn đi qua một điểm cố định.