Đề thi HSG Toán 10 lần thứ 15 năm 2024 hội các trường THPT chuyên DH&ĐB Bắc Bộ

MeToan.Com giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 10 đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 10 lần thứ 15 năm 2024 hội các trường THPT chuyên vùng DH&ĐB Bắc Bộ; kỳ thi được diễn ra vào ngày 16 tháng 07 năm 2024.

Trích dẫn Đề thi HSG Toán 10 lần thứ 15 năm 2024 hội các trường THPT chuyên DH&ĐB Bắc Bộ:

• Bài 1: Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O) có AB < AC. Các đường cao AD, BE, CF đồng quy tại trực tâm H (D thuộc BC, E thuộc AC, F thuộc AB). Gọi O1 là điểm đối xứng với O qua BC. Đường thẳng AO1 cắt cạnh BC tại L, các đường thẳng DE và HC cắt nhau tại M, các đường thẳng DF và HB cắt nhau tại N. Chứng minh rằng:
  • a) MN vuông góc AO1.
  • b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN tiếp xúc với đường tròn đường kính AL.
• Bài 2: Cho dãy số (an) xác định bởi công thức truy hồi sau. Chứng minh rằng:
  • a) akn chia hết cho an với mọi số nguyên dương k, n.
  • b) Với mọi số nguyên tố p, tồn tại các số nguyên dương N và T sao cho an = An+T (mod p) với mọi n ≥ N.
  • c) Tồn tại vô hạn số nguyên tố p thỏa mãn: Trong dãy (an) có vô hạn số hạng chia hết cho p.
• Bài 3: An và Bình cùng chơi một trò chơi trên bảng ô vuông kích thước (2n + 1) x (2n + 1) và An là người đi trước. Ban đầu, tất cả các ô trên bảng đều có màu trắng. Ở mỗi lượt chơi, An tô một ô màu trắng thành màu xanh còn Bình tô một ô màu trắng thành màu đỏ. Trò chơi kết thúc khi hai bạn tô hết tất cả các ô trên bảng. An thắng nếu với hai ô màu xanh bất kì tồn tại ít nhất một chuỗi các ô xanh lân cận kết nối chúng với nhau (hai ô gọi là lân cận nếu chúng có chung ít nhất một đỉnh). Nếu không thì Bình là người thắng.
  • a) Khi n = 1, xác định người chơi có chiến lược thắng.
  • b) Khi n ≥ 2, chứng minh Bình có chiến lược thắng.