Đề thi HSG Toán 10 lần thứ 14 năm 2023 hội các trường THPT chuyên DH&ĐB Bắc Bộ

Đề thi HSG Toán 10 lần thứ 14 năm 2023 của hội các trường THPT chuyên DH&ĐB Bắc Bộ đã có tại MeToan.Com!

Website MeToan.Com xin trân trọng gửi đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 10 đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 10 lần thứ 14 (XIV) năm 2023. Kỳ thi diễn ra vào ngày 15 tháng 07 năm 2023 dành cho các trường THPT chuyên vùng Duyên hải và Đồng bằng Bắc Bộ.

Để hỗ trợ việc giảng dạy và ôn luyện, MeToan.Com cung cấp đề thi kèm theo đáp án và hướng dẫn chấm điểm chi tiết.

Dưới đây là một phần trích dẫn nội dung đề thi:

Bài 1:

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) có AD là đường phân giác trong (D thuộc BC). Gọi E, F lần lượt là điểm chính giữa cung CA chứa B, cung AB chứa C của đường tròn (O). Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE cắt AB tại M. Đường tròn ngoại tiếp tam giác CDF cắt AC tại N.

a) Chứng minh rằng bốn điểm B, M, N, C cùng nằm trên một đường tròn.

b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN. Gọi AP, AQ lần lượt là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABN, ACM. Chứng minh rằng các đường thẳng BQ, CP, AI đồng quy.

Bài 2:

Cho số nguyên dương n. Chứng minh rằng nếu tồn tại các số nguyên dương a, b, c sao cho 2027n = a.b.c + b.a.c thì n là số chẵn.

Bài 3:

Một số nguyên dương m được gọi là “tốt” nếu tồn tại các số nguyên dương a, b, c, d sao cho m.a.b.c.d = 49 và a.d = b.c.

a) Chứng minh rằng số nguyên dương m là “tốt” khi và chỉ khi tồn tại hai số nguyên dương x, y sao cho x.y = m và (x.y - m + 1)^2 = 49.

b) Tìm số “tốt” lớn nhất.

Hy vọng tài liệu trên MeToan.Com sẽ là nguồn tham khảo hữu ích cho quý thầy, cô và các em học sinh trong quá trình giảng dạy và học tập.