Đề thi học sinh giỏi Toán 10 chuyên năm 2022 - 2023 Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc

Đề thi học sinh giỏi Toán 10 chuyên năm 2022 - 2023 Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc

MeToan.Com giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 10 đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 10 THPT chuyên năm học 2022 – 2023 Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Vĩnh Phúc; đề thi hình thức tự luận, gồm 01 trang với 05 bài toán, thời gian làm bài 180 phút (không kể thời gian giao đề).

Dưới đây là một số trích dẫn từ đề thi:

• Bài 1: Cho bộ ba số (x, y, p) trong đó x, y là các số nguyên dương và p là số nguyên tố. Xét phương trình: 5x4 + y4 = p.
  • a. Với p = 2, chứng minh rằng không tồn tại x, y nguyên dương thỏa mãn phương trình trên.
  • b. Tìm tất cả các bộ ba số (x, y, p) thỏa mãn phương trình trên.
• Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC (AB ≤ AC) nội tiếp đường tròn (O) và ngoại tiếp đường tròn (I). Đường tròn nội tiếp (I) của tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Đường thẳng qua D vuông góc với EF cắt EF tại điểm X và cắt đường tròn (I) tại K (K ≠ D).
  • a. Chứng minh rằng XE/XF = AC/BC = AB/BC.
  • b. Đường thẳng AK cắt (O) tại điểm L (L ≠ A). Các tia KI, IL cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC lần lượt tại N, M (N ≠ I, M ≠ I). Đường tròn ngoại tiếp các tam giác KFB, KEC cắt đường thẳng EF lần lượt tại P, Q (P ≠ F, Q ≠ E). Chứng minh rằng các điểm N, C, P thẳng hàng.
  • c. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ nội tiếp một đường tròn.
• Bài 3: Cho tập hợp S = {1; 2; 3; …; 2022}. Một tập con A của S được gọi là tập con “Tốt” của tập S nếu trong A có ba số phân biệt x, y, z thỏa mãn tính chất: tồn tại ba số a, b, c phân biệt trong S sao cho x + b = c + y = a + z.
  • Số tự nhiên n (1 ≤ n ≤ 2022) được gọi là số “Đẹp” của tập S nếu mọi tập con có n phần tử của tập S đều là tập con “Tốt” của tập S.
  • a. Chứng minh rằng n = 1012 không phải là số “Đẹp” của tập S.
  • b. Tìm số “Đẹp” nhỏ nhất của tập S.

Để xem đầy đủ đề thi và đáp án, vui lòng truy cập MeToan.Com.