Đề kiểm tra cuối hè môn Toán lớp 11 năm 2019 trường THPT chuyên Bắc Ninh
Nhằm mục đích kiểm tra lại kiến thức Toán 10 của học sinh khối 11 sau kỳ nghỉ hè, trường THPT chuyên Bắc Ninh đã tổ chức kỳ thi kiểm tra chất lượng môn Toán cuối kỳ nghỉ hè năm 2019. Đây là cơ hội để học sinh ôn tập lại kiến thức Toán 10, tạo nền tảng vững chắc trước khi bước vào chương trình Toán lớp 11.
Đề thi dành cho học sinh các lớp chuyên Toán, được biên soạn theo hình thức tự luận với 5 bài toán. Thời gian làm bài là 150 phút (không kể thời gian phát đề). Đề thi có kèm lời giải chi tiết.
Dưới đây là một số bài toán trong đề kiểm tra cuối hè môn Toán lớp 11 năm 2019 của trường THPT chuyên Bắc Ninh:
Bài 1: Một công ty muốn lắp đặt đường ống dẫn dầu từ kho A trên bờ biển đến vị trí B trên một hòn đảo (xem hình minh họa). Biết rằng B cách bờ biển 6km, C là điểm trên bờ biển sao cho BC vuông góc với bờ biển và AC = 9km. Hãy xác định vị trí D trên đoạn AC để lắp đặt đường ống theo đường gấp khúc ADB sao cho chi phí lắp đặt là thấp nhất. Biết chi phí lắp đặt cho mỗi km đường ống trên bờ là 100 triệu đồng và dưới nước là 260 triệu đồng.
Bài 2: Gọi R là tập hợp các số tự nhiên có 7 chữ số được lập từ hai chữ số 1 và 2. Xây dựng tập con S của R theo quy tắc: phần tử đầu tiên của S có thể là bất kỳ phần tử nào của R; hai phần tử phân biệt của S phải có ít nhất ba cặp chữ số ở ba hàng bất kỳ khác nhau (ví dụ: 1.111.111 và 1.111.222 là hai phần tử phân biệt vì có ba cặp chữ số ở hàng trăm, chục, đơn vị khác nhau). Chứng minh rằng, với mọi cách xây dựng tập S theo quy tắc trên, số phần tử của S không vượt quá 16.
Bài 3: Cho tam giác ABC có AB < AC, đường tròn nội tiếp (w) của tam giác ABC có tâm I và tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại hai điểm A, P và cắt đường thẳng AD tại hai điểm A, K. Hai đường thẳng PI, EF cắt nhau tại H, đường tròn ngoại tiếp tam giác DKH cắt đường tròn (w) tại hai điểm D, N.
a) Chứng minh DH vuông góc với EF. b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác BNC tiếp xúc với đường tròn (w).
