Đề kiểm tra chất lượng HK1 Toán 9 năm 2020 - 2021 trường chuyên Hà Nội - Amsterdam

Vào ngày 11/11/2020, trường THPT chuyên Hà Nội - Amsterdam đã tổ chức kỳ thi kiểm tra chất lượng học kỳ 1 môn Toán lớp 9 năm học 2020 - 2021.

Đề thi gồm 01 trang với 05 bài toán dạng tự luận, thời gian làm bài là 90 phút.

Bài toán thực tế: Đề bài yêu cầu tính toán độ dịch chuyển của đầu thang dựa vào tường khi thay đổi góc tạo bởi thang và mặt đất. Bài toán này kiểm tra khả năng áp dụng kiến thức lượng giác vào giải quyết vấn đề thực tiễn.
Hình học phẳng: Đề thi yêu cầu chứng minh các tính chất hình học của tam giác, đường tròn nội tiếp, tứ giác nội tiếp. Các câu hỏi xoay quanh việc chứng minh tam giác cân, chứng minh ba điểm thẳng hàng và chứng minh hai góc bằng nhau.
Bất đẳng thức: Đề bài yêu cầu tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức chứa hai biến a và b với điều kiện a, b là các số thực trái dấu và thỏa mãn một bất đẳng thức cho trước. Bài toán này kiểm tra khả năng áp dụng kỹ thuật biến đổi tương đương và các bất đẳng thức cơ bản để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức.

Một chiếc thang dài 7m dựa vào bức tường thẳng đứng, tạo với mặt đất một góc 50°. Nếu đẩy chân của chiếc thang đó gần về phía tường đến khi thang tạo với mặt đất góc 65° (xem hình vẽ), hỏi đầu thang ở trên tường đã dịch chuyển lên một đoạn là bao nhiêu? (kết quả các phép tính lấy hai chữ số sau dấu phẩy).
Cho tam giác ABC có BAC > 90°, đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với các cạnh AB, BC và CA lần lượt tại P, Q và R. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh CA, AB. Các đường thẳng MN, PQ cắt nhau ở D.
- a) Cho biết độ dài các cạnh AB, BC và CA của tam giác tương ứng bằng 4 cm, 7 cm và 5 cm, tính độ dài của đoạn AP theo cm.
- b) Chứng minh các tam giác NDP và MCD là các tam giác cân.
- c) Chứng minh rằng các điểm D, I, C thẳng hàng.
- d) Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ Q đến PR. Chứng minh PHB = CHR.
Cho a, b là các số thực trái dấu thỏa mãn a^2 >= ab + 2b^2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = (a^2 + 2b^2)/ab.