Chuyên Đề Mặt Tròn Xoay, Mặt Nón - Trụ - Cầu - Đặng Việt Đông

Tài liệu gồm 64 trang tóm tắt lý thuyết cơ bản và tuyển chọn các bài toán chuyên đề mặt tròn xoay, mặt nón - trụ - cầu có lời giải chi tiết.

I. HÌNH NÓN – KHỐI NÓN

1. Mặt Nón Tròn Xoay

Trong mặt phẳng (P), cho 2 đường thẳng d, Δ cắt nhau tại O và chúng tạo thành góc β với 0 < β < 90 độ. Khi quay mp(P) xung quanh trục Δ với góc β không thay đổi được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh O.
Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón. Đường thẳng Δ gọi là trục, đường thẳng d được gọi là đường sinh và góc 2β gọi là góc ở đỉnh.

2. Hình Nón Tròn Xoay

Cho ΔOIM vuông tại I quay quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OIM tạo thành một hình, gọi là hình nón tròn xoay (gọi tắt là hình nón).
Đường thẳng OI gọi là trục, O là đỉnh, OI gọi là đường cao và OM gọi là đường sinh của hình nón.
Hình tròn tâm I, bán kính r = IM là đáy của hình nón.

3. Công Thức Diện Tích Và Thể Tích Của Hình Nón

Cho hình nón có chiều cao là h, bán kính đáy r và đường sinh là l thì có:

Diện tích xung quanh: Sxq = π.r.l
Diện tích đáy (hình tròn): Str = π.r^2
Diện tích toàn phần hình tròn: S = Str + Sxq
Thể tích khối nón: Vnón = 1/3.Str.h = 1/3π.r^2.h

4. Tính Chất:

Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:

Mặt phẳng cắt mặt nón theo 2 đường sinh → Thiết diện là tam giác cân
Mặt phẳng tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh. Trong trường hợp này, người ta gọi đó là mặt phẳng tiếp diện của mặt nón.

Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:

Nếu mặt phẳng cắt vuông góc với trục hình nón → giao tuyến là một đường tròn.
Nếu mặt phẳng cắt song song với 2 đường sinh hình nón → giao tuyến là 2 nhánh của 1 hypebol.
Nếu mặt phẳng cắt song song với 1 đường sinh hình nón → giao tuyến là 1 đường parabol.

II. HÌNH TRỤ – KHỐI TRỤ

1. Mặt Trụ Tròn Xoay

Trong mp(P) cho hai đường thẳng Δ và l song song nhau, cách nhau một khoảng r. Khi quay mp(P) quanh trục cố định Δ thì đường thẳng l sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt là mặt trụ.
Đường thẳng Δ được gọi là trục.
Đường thẳng l được gọi là đường sinh.
Khoảng cách r được gọi là bán kính của mặt trụ.

2. Hình Trụ Tròn Xoay

Khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh đường thẳng chứa một cạnh, chẳng hạn cạnh AB thì đường gấp khúc ABCD tạo thành một hình, hình đó được gọi là hình trụ tròn xoay hay gọi tắt là hình trụ.

Đường thẳng AB được gọi là trục.
Đoạn thẳng CD được gọi là đường sinh.
Độ dài đoạn thẳng AB = CD = h được gọi là chiều cao của hình trụ.
Hình tròn tâm A, bán kính r = AD và hình tròn tâm B, bán kính r = BC được gọi là 2 đáy của hình trụ.
Khối trụ tròn xoay, gọi tắt là khối trụ, là phần không gian giới hạn bởi hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ.

3. Công Thức Tính Diện Tích Và Thể Tích Của Hình Trụ

Cho hình trụ có chiều cao là h và bán kính đáy bằng r, khi đó:

Diện tích xung quanh của hình trụ: Sxq = 2πrh
Diện tích toàn phần của hình trụ: Stp = Sxq + Sđ = 2πrh + 2πr2
Thể tích khối trụ: V = Bh = πr^2h

4. Tính Chất

Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r) bởi một mp(α) vuông góc với trục Δ thì ta được đường tròn có tâm trên Δ và có bán kính bằng r với r cũng chính là bán kính của mặt trụ đó.
Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r) bởi một mp(α) không vuông góc với trục Δ nhưng cắt tất cả các đường sinh, ta được giao tuyến là một đường elíp có trụ nhỏ bằng 2r và trục lớn bằng 2r/sinα trong đó φ là góc giữa trục Δ và mp(α) với 0 < φ < 90 độ.

Cho mp(α) song song với trục Δ của mặt trụ tròn xoay và cách Δ một khoảng k.

Nếu k < r thì mp(α) cắt mặt trụ theo hai đường sinh → thiết diện là hình chữ nhật.
Nếu k = r thì mp(α) tiếp xúc với mặt trụ theo một đường sinh.
Nếu k > r thì mp(α) không cắt mặt trụ.

III. MẶT CẦU – KHỐI CẦU

1. Vị Trí Tương Đối Giữa Mặt Cầu Và Mặt Phẳng

Cho mặt cầu S(O; R) và mặt phẳng (P). Gọi d = d(O; (P)).

Nếu d < R thì (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn nằm trên (P), có tâm H và bán kính.
Nếu d = R thì (P) tiếp xúc với (S) tại tiếp điểm H. ((P) được gọi là tiếp diện của (S)).
Nếu d > R thì (P) và (S) không có điểm chung.

Khi d = 0 thì (P) đi qua tâm O và được gọi là mặt phẳng kính, đường tròn giao tuyến có bán kính bằng R được gọi là đường tròn lớn.

2. Vị Trí Tương Đối Giữa Mặt Cầu Và Đường Thẳng

Cho mặt cầu S(O; R) và đường thẳng Δ. Gọi d = d(O; Δ).

Nếu d < R thì Δ cắt (S) tại hai điểm phân biệt.
Nếu d = R thì Δ tiếp xúc với (S). ( được gọi là tiếp tuyến của (S)).
Nếu d > R thì Δ và (S) không có điểm chung.

3. Xác Định Tâm Mặt Cầu Ngoại Tiếp Khối Đa Diện

a. Mặt Cầu Ngoại Tiếp Hình Chóp

Cách 1: Nếu (n – 2) đỉnh của đa diện nhìn hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông thì tâm của mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng nối hai đỉnh đó.
Cách 2: Để xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
- Xác định trục Δ của đáy (Δ là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy).
- Xác định mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên.
- Giao điểm của (P) và Δ là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

b. Mặt Cầu Ngoại Tiếp Hình Lăng Trụ Đứng

Xác định trục Δ của hai đáy (Δ là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy).
Trung điểm đoạn nối hai tâm đa giác đáy là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.