ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀO BÀI TOÁN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Tài liệu dài 25 trang, được biên soạn bởi nhóm tác giả Toán Học Bắc Trung Nam, hướng dẫn giải các bài toán ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể trong hình học không gian. Đây là dạng toán vận dụng cao (VDC) thường gặp trong chương trình Giải tích 12 chương 3: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng. Các bài toán trắc nghiệm trong tài liệu đều có đáp án và lời giải chi tiết.

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

Thể tích vật thể: Cho B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x (a ≤ x ≤ b). Giả sử S(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a, b]. Khi đó thể tích V của vật thể B được xác định bởi công thức:

$$V = \int_a^b S(x) dx $$

Thể tích khối tròn xoay:

Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox được tính bởi công thức:

$$V = π \int_a^b [f(x)]^2 dx $$

Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g(y), trục hoành và hai đường thẳng y = c, y = d quanh trục Oy được tính bởi công thức:

$$V = π \int_c^d [g(y)]^2 dy $$

Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = g(x) (với f(x) ≥ g(x) trên đoạn [a, b]) và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox được tính bởi công thức:

$$V = π \int_a^b {[f(x)]^2 - [g(x)]^2} dx $$

B. BÀI TẬP

Bài 1: Một bồn hình trụ chứa dầu được đặt nằm ngang, có chiều dài 5m, bán kính đáy 1m, với nắp bồn đặt trên mặt nằm ngang của mặt trụ. Người ta rút dầu trong bồn tương ứng với 0,5m của đường kính đáy. Tính thể tích dầu còn lại trong bồn.

Bài 2: Có một vật thể là hình tròn xoay có dạng giống như một cái ly như hình vẽ dưới đây. Người ta đo được đường kính của miệng ly là 4cm và chiều cao là 6cm. Biết rằng thiết diện của chiếc ly cắt bởi mặt phẳng đối xứng là một parabol. Tính thể tích của vật thể đã cho.

Bài 3: Trong một đợt xả lũ, nhà máy thủy điện đã xả lũ trong 40 phút với tốc độ lưu lượng nước tại thời điểm t giây là v(t) = 3t² - 500t + 10 (m³/s). Hỏi sau thời gian xả lũ trên thì hồ thoát nước của nhà máy đã thoát đi một lượng nước là bao nhiêu?