Tính Giá Trị Của Tích Phân Khi Biết Một Hay Nhiều Tích Phân Với Điều Kiện Cho Trước

Tài liệu gồm 20 trang, được biên soạn bởi nhóm tác giả Toán Học Bắc Trung Nam, hướng dẫn giải các bài toán liên quan đến tính giá trị của tích phân khi biết một hay nhiều tích phân với điều kiện cho trước. Đây là dạng toán vận dụng cao (VDC) thường gặp trong chương trình Giải tích 12 chương 3: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng. Các bài toán trắc nghiệm trong tài liệu đều có đáp án và lời giải chi tiết.

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

Định nghĩa: Cho f là hàm số liên tục trên đoạn [a, b]. Giả sử F là một nguyên hàm của f trên [a, b]. Hiệu số F(b) - F(a) được gọi là tích phân từ a đến b hay tích phân xác định trên đoạn [a, b] của hàm số f(x), kí hiệu là:

∫(a, b) f(x) dx

Ta dùng kí hiệu [F(x)](a, b) = F(b) - F(a) để chỉ hiệu số F(b) - F(a). Vậy:

∫(a, b) f(x) dx = [F(x)](a, b) = F(b) - F(a).

Nhận xét:

Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi ∫(a, b) f(x) dx hay ∫(a, b) f(t) dt.
Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.

Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f liên tục và không âm trên đoạn [a, b] thì tích phân ∫(a, b) f(x) dx là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b. Vậy S = ∫(a, b) f(x) dx.

Tính chất của tích phân:

∫(a, a) f(x) dx = 0
∫(a, b) f(x) dx = - ∫(b, a) f(x) dx
∫(a, c) f(x) dx + ∫(c, b) f(x) dx = ∫(a, b) f(x) dx (a < c < b)
∫(a, b) k.f(x) dx = k.∫(a, b) f(x) dx (k là hằng số)
∫(a, b) [f(x) + g(x)] dx = ∫(a, b) f(x) dx + ∫(a, b) g(x) dx
Nếu f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn [-a, a] (a > 0) thì ∫(-a, a) f(x) dx = 2∫(0, a) f(x) dx.
Nếu f(x) là hàm số lẻ và liên tục trên đoạn [-a, a] (a > 0) thì ∫(-a, a) f(x) dx = 0.

Chuyên đề bài toán liên quan đến tính giá trị của tích phân khi biết một hay nhiều tích phân với điều kiện cho trước

Nếu f(x) là hàm số liên tục, tuần hoàn với chu kì T thì ∫(a, a+T) f(x) dx = ∫(0, T) f(x) dx (∀a ∈ R).
∫(0, 2a) f(x) dx = 2∫(0, a) f(x) dx nếu f(2a - x) = f(x)

B. BÀI TẬP

(Các bài tập được trình bày trong tài liệu)