Nguyên Hàm Và Tích Phân Hàm Lượng Giác

Tài liệu gồm 32 trang được biên soạn bởi các tác giả Nguyễn Minh Tuấn và Phạm Việt Anh, hướng dẫn phương pháp giải các dạng toán nguyên hàm và tích phân hàm lượng giác từ cơ bản đến nâng cao, thường gặp trong chương trình Giải tích 12 chương 3.

Nội dung tài liệu:

1. Các dạng toán cơ bản

• Dạng 1. Tính tích phân tổng quát sau: ${I_1} = \int {{{(\sin x)}^n}} dx$, ${I_2} = \int {{{(\cos x)}^n}} dx.$
• Dạng 2. Ứng dụng công thức biến đổi tích thành tổng để tính tích phân các biểu thức chứa $\sin x$, $\cos x$:
  • $I = \int {(\cos mx)} (\cos nx)dx$ $ = \frac{1}{2}\int {(\cos (} m – n)x + \cos (m + n)x)dx.$
  • $I = \int {(\sin mx)} (\sin nx)dx$ $ = \frac{1}{2}\int {(\cos (} m – n)x – \cos (m + n)x)dx.$
  • $I = \int {(\sin mx)} (\cos nx)dx$ $ = \frac{1}{2}\int {(\sin (} m + n)x + \sin (m – n)x)dx.$
  • $I = \int {(\cos mx)} (\sin nx)dx$ $ = \frac{1}{2}\int {(\sin (} m + n)x – \sin (m – n)x)dx.$
• Dạng 3. Tính tích phân tổng quát $I = \int {{{\sin }^m}} x{\cos ^n}xdx.$
• Dạng 4. Tính tích phân tổng quát ${I_1} = \int {{{(\tan x)}^n}} dx$, ${I_2} = \int {{{(\cot x)}^n}} dx.$
• Dạng 5. Tính tích phân tổng quát $I = \int {\frac{{{{(\tan x)}^m}}}{{{{(\cos x)}^n}}}} dx$, $I = \int {\frac{{{{(\cot x)}^m}}}{{{{(\sin x)}^n}}}} dx.$

2. Các dạng toán biến đổi nâng cao

Phần này bao gồm các dạng toán nâng cao hơn, với những phép biến đổi phức tạp hơn, giúp người học mở rộng kiến thức và kỹ năng giải bài tập nguyên hàm và tích phân hàm lượng giác.

• Dạng 1. Tính tích phân tổng quát $I = \int {\frac{{dx}}{{\sin (x + a)\sin (x + b)}}} .$
• Dạng 2. Tính tích phân tổng quát $I = \int {\tan } (x + a)\tan (x + b)dx.$
• Dạng 3. Tính tích phân tổng quát $I = \int {\frac{{dx}}{{a\sin x + b\cos x}}} .$
• Dạng 4. Tính tích phân tổng quát $I = \int {\frac{{dx}}{{a\sin x + b\cos x + c}}} .$
• Dạng 5. Tính tích phân tổng quát $I = \int {\frac{{dx}}{{a{{\sin }^2}x + b\sin x\cos x + c{{\cos }^2}x}}} .$
• Dạng 6. Xét tích phân tổng quát $I = \int {\frac{{{a_1}\sin x + {b_1}\cos x}}{{{a_2}\sin x + {b_2}\cos x}}} dx.$
• Dạng 7. Xét tích phân tổng quát $I = \int {\frac{{a{{(\sin x)}^2} + b\sin x\cos x + c{{(\cos x)}^2}}}{{m\sin x + n\cos x}}} dx.$
• Dạng 8. Xét tích phân tổng quát $I = \int {\frac{{m\sin x + n\cos x}}{{a{{(\sin x)}^2} + 2b\sin x\cos x + c{{(\cos x)}^2}}}} dx.$
• Dạng 9. Biến đổi nâng cao dạng tích phân: $\int {\frac{{dx}}{{{{(\sin x)}^n}}}} $ và $\int {\frac{{dx}}{{{{(\cos x)}^n}}}} .$