Bất Đẳng Thức Tích Phân Và Một Số Bài Toán Liên Quan
Bất Đẳng Thức Tích Phân Và Một Số Bài Toán Liên Quan
Tài liệu gồm 19 trang, được biên soạn bởi nhóm tác giả Toán Học Bắc Trung Nam, hướng dẫn giải các bài toán bất đẳng thức tích phân và một số bài toán liên quan. Đây là dạng toán vận dụng cao (VDC) thường gặp trong chương trình Giải tích 12 chương 3: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng. Các bài toán trắc nghiệm trong tài liệu đều có đáp án và lời giải chi tiết.
A. Kiến Thức Cơ Bản
Cho các hàm số y = f(x) và y = g(x) có đạo hàm liên tục trên [a, b]. Khi đó:
- Nếu f(x) ≤ g(x) với mọi x ∈ [a, b] thì ∫abf(x)dx ≤ ∫abg(x)dx.
- Nếu f(x) ≥ 0 với mọi x ∈ [a, b] thì 0 ≤ ∫abf(x)dx.
- Hệ quả: |∫abf(x)dx| ≤ ∫ab|f(x)|dx.
- Bất đẳng thức Holder (Cauchy – Schwarz): [∫ab|f(x)g(x)|dx]2 ≤ ∫abf2(x)dx . ∫abg2(x)dx. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f(x) = kg(x) với k là hằng số.
B. Bài Tập
Bài 1: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên [0, 2] đồng thời thỏa mãn điều kiện f(2) = 2 và ∫02xf(x)dx = 2. Hãy tính tích phân I = ∫02x2f(x)dx?
Bài 2: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên [1, 2] đồng thời thỏa mãn ∫12x3f(x)dx = 31. Tìm giá trị nhỏ nhất của tích phân I = ∫12f2(x)dx?
Bài 3: Cho hàm số y = f(x) nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn [0, 1] đồng thời ta đặt g(x) = ∫0x√(f(t))dt. Biết g(x) ≤ f(x) với mọi x ∈ [0, 1]. Tích phân ∫01(1/g(x))dx có giá trị lớn nhất bằng?
