Xét tính đơn điệu của hàm số

Bài viết hướng dẫn phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số (tính đồng biến, nghịch biến của hàm số) thông qua các bước giải và các ví dụ minh họa có lời giải chi tiết. Kiến thức và các ví dụ trong bài viết được trích dẫn từ các tài liệu chuyên đề hàm số đăng tải trên MeToan.Com.

Phương pháp: Để xét tính đơn điệu của hàm số $y = f(x)$, ta thực hiện theo các bước sau đây:
+ Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số $y = f(x).$
+ Bước 2. Tính đạo hàm  $f'(x)$ và tìm các điểm ${x_0}$ sao cho $f'({x_0}) = 0$ hoặc $f'({x_0})$ không xác định.
+ Bước 3. Lập bảng xét dấu $f'(x)$, nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số $y = f(x).$

Ví dụ 1. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến (hoặc xét chiều biến thiên) của hàm số:
a. $y = \frac{4}{3}{x^3} – 2{x^2} + x – 3.$
b. $y = {x^3} – 6{x^2} + 9x – 3.$

a. TXĐ: $D = R.$
Ta có:
$y’ = 4{x^2} – 4x + 1 = {\left( {2x – 1} \right)^2}.$
$y’ = 0$ với $x = \frac{1}{2}$ và $y’ > 0$ với mọi $x e \frac{1}{2}.$
Giới hạn: $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = – \infty $ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty .$
Bảng biến thiên:

Vậy hàm số $y = \frac{4}{3}{x^3} – 2{x^2} + x – 3$ đồng biến trên mỗi nửa khoảng $\left( { – \infty ;\frac{1}{2}} \right]$ và $\left[ {\frac{1}{2}; + \infty } \right).$
b. TXĐ: $D = R.$
Ta có:
${\rm{y’}} = {\rm{3}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}–{\rm{12x}} + {\rm{9}}.$
${\rm{y’}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = 3
\end{array} \right.$
Giới hạn: $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = – \infty $ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty .$
Bảng biến thiên:

Vậy hàm số $y = {x^3} – 6{x^2} + 9x – 3$ đồng biến trên các khoảng $\left( { – \infty ;1} \right)$ và $\left( {{\rm{3;}} + \infty } \right)$, nghịch biến trên khoảng $\left( {{\rm{1;3}}} \right).$

Ví dụ 2. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến (hoặc xét chiều biến thiên) của hàm số:
a. $y = – \frac{1}{4}{x^4} – \frac{3}{2}{x^2} + 1.$
b. $y = – \frac{1}{4}{x^4} + {x^3} – 4x + 1.$

a. TXĐ: $D = R.$
Ta có: $y’ = – {x^3} – 3x = – x({x^2} + 3)$ $ \Rightarrow y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0.$
Bảng xét dấu:

Vậy hàm số $y$ đồng biến trên khoảng $( – \infty ;0)$, nghịch biến trên $(0; + \infty ).$
b. TXĐ: $D = R.$
Ta có: $y’ = – {x^3} + 3{x^2} – 4$ $ \Rightarrow y’ = 0 \Leftrightarrow x = – 1, x = 2.$
Giới hạn: $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = – \infty $ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = – \infty .$
Bảng biến thiên:

Vậy hàm số $y$ đồng biến trên khoảng $( – \infty ; – 1)$, nghịch biến trên khoảng $( – 1; + \infty ).$

Ví dụ 3. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến (hoặc xét chiều biến thiên) của hàm số:
a. $y = \frac{{x – 2}}{{x – 1}}.$
b. $y = \frac{{2x – 1}}{{x – 1}}.$

a. TXĐ: $D = R\backslash \left\{ 1 \right\}.$
Ta có: $y’ = \frac{1}{{{{(x – 1)}^2}}} > 0,\forall x \in D$, $y’$ không xác định tại ${\rm{x}} = {\rm{1}}.$
Vậy hàm số $y$ đồng biến trên mỗi khoảng $\left( { – \infty ;1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$ (hay hàm số $y$ đồng  biến trên mỗi khoảng xác định).
b. TXĐ: $D = R\backslash \left\{ 1 \right\}.$
Ta có: $y’ = \frac{{ – 1}}{{{{(x – 1)}^2}}} < 0, \forall x \in {\rm{D}}$, $y’$ không xác định tại ${\rm{x}} = {\rm{1}}.$
Vậy hàm số $y$ nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( { – \infty ;1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$ (hay hàm số $y$ nghịch biến trên mỗi khoảng xác định).

Ví dụ 4. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến (hoặc xét chiều biến thiên) của hàm số:
a. $y = \frac{{{x^2} + 4x + 4}}{{x + 1}}.$
b. $y = \frac{{4{x^2} + 5x + 5}}{{x + 1}}.$

a. TXĐ: $D = R\backslash \left\{ { – 1} \right\}.$
Ta có: $y’ = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{(x + 1)}^2}}}$ $ \Rightarrow y’ = 0 \Leftrightarrow x = – 2,x = 0.$
Giới hạn: $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = – \infty $ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty $, $\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ – }} y = – \infty $ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} y = + \infty .$
Bảng biến thiên:

Vậy hàm số $y$ đồng biến trên mỗi khoảng: $( – \infty ; – 2)$ và $(0; + \infty )$, nghịch biến trên mỗi khoảng: $( – 2; – 1)$ và $( – 1;0)$.

b. TXĐ: $D = R\backslash \left\{ { – 1} \right\}.$
Ta có: $y’ = \frac{{4{x^2} + 8x}}{{{{(x + 1)}^2}}}$ $ \Rightarrow y’ = 0 \Leftrightarrow 4{x^2} + 8x = 0$ $ \Leftrightarrow x = 0,x = – 2.$
Giới hạn: $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = – \infty $ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty $, $\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ – }} y = – \infty $ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} y = + \infty .$
Bảng biến thiên:

Vậy hàm số $y$ đồng biến trên mỗi khoảng: $( – \infty ; – 2)$ và $(0; + \infty )$, nghịch biến trên mỗi khoảng: $( – 2; – 1)$ và $( – 1;0).$

Ví dụ 5. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến (hoặc xét chiều biến thiên) của hàm số:
a. $y = \left| {{x^2} – 2x – 3} \right|.$
b. $y = \left| {{x^2} – 4x + 3} \right| + 2x + 3.$

a. TXĐ: $D = R.$
Ta có: $y = \sqrt {{{({x^2} – 2x – 3)}^2}} $ $ \Rightarrow y’ = \frac{{2(x – 1)({x^2} – 2x – 3)}}{{\sqrt {{{({x^2} – 2x – 3)}^2}} }}.$
$y’ = 0 \Leftrightarrow x = 1$, hàm số không có đạo hàm tại $x = – 1, x = 3$ (tham khảo lời giải thích ở ý b).
Bảng xét dấu:

Vậy hàm số $y$ đồng biến trên mỗi khoảng: $( – 1;1)$ và $(3; + \infty )$, nghịch biến trên: $( – \infty ; – 1)$ và $(1;3).$
Nhận xét:
+ Bài toán xét tính đơn điệu của hàm số được chuyển về bài toán xét dấu của một biểu thức $y’.$
+ Khi tính đạo hàm của hàm số có dạng $y = \left| {f(x)} \right|$ ta chuyển trị tuyệt đối vào trong căn thức $y = \sqrt {{f^2}(x)} $, khi đó tại những điểm mà $f(x) = 0$ thì hàm số không có đạo hàm.
b. TXĐ: $D = R.$
Ta có: $y = {x^2} – 4x + 3 + 4x + 3$ $ = {x^2} + 6$ khi $x \le 1 \vee x \ge 3$ và $y = – {x^2} + 4x – 3 + 4x + 3$ $ = – {x^2} + 8x$ khi $1 \le x \le 3.$
Khi $x \in ( – \infty ;1) \cup (3; + \infty )$ thì: $y’ = 2x \Rightarrow y’ = 0$ $ \Leftrightarrow x = 0 \in ( – \infty ;1) \cup (3; + \infty ).$
Khi $x \in (1;3)$ thì: $y’ = – 2x + 8$ $ \Rightarrow y’ = 0 \Leftrightarrow x = 4 otin (1;3).$
Tại $x = 1$, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
f'({1^ + }) = 6\\
f'({1^ – }) = 2
\end{array} \right.$. Vì $f'({1^ + }) e f'({1^ – })$ nên $f’(1)$ không tồn tại.
Tại $x = 3$, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
f'({3^ + }) = 6\\
f'({3^ – }) = 2
\end{array} \right.$ nên $f'(3)$ không tồn tại.
Vậy hàm số $y$ đồng biến trên khoảng $(0; + \infty )$ và nghịch biến trên khoảng $( – \infty ;0).$

Ví dụ 6. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến (hoặc xét chiều biến thiên) của hàm số:
a. $y = \frac{{4x + 5}}{{4{x^2} – 4}}.$
b. $y = \frac{{12x + 1}}{{12{x^2} + 2}}.$
c. $y = \frac{{3{x^2} – x + 1}}{{{x^2} – x + 1}}.$

a. TXĐ: $D = R\backslash \left\{ { – 1;1} \right\}.$
Ta có: $y’ = \frac{{ – 16{x^2} – 40x – 16}}{{{{\left( {4{x^2} – 4} \right)}^2}}}$ $ \Rightarrow y’ = 0$ ⇔ $x = – 2$ hoặc $x = – \frac{1}{2}.$
Vậy, hàm số $y$ đồng biến trên các khoảng $\left( { – 2; – 1} \right)$, $\left( { – 1; – \frac{1}{2}} \right)$ và nghịch biến trên các khoảng $\left( { – \infty ; – 2} \right)$, $\left( { – \frac{1}{2};1} \right)$, $\left( {1; + \infty } \right).$
b. TXĐ: $D = R.$
Ta có: $y’ = \frac{{ – 36{x^2} – 6x + 6}}{{{{\left( {6{x^2} + 1} \right)}^2}}}.$ Với $\forall x \in R: y’ = 0$ ⇔ $x = – \frac{1}{2}$ hoặc $x = \frac{1}{3}.$
Bảng xét dấu:

Trên khoảng $\left( { – \frac{1}{2};\frac{1}{3}} \right)$: $y’ > 0$ $ \Rightarrow y$ đồng biến trên khoảng $\left( { – \frac{1}{2};\frac{1}{3}} \right).$
Trên khoảng $\left( { – \infty ; – \frac{1}{2}} \right)$ và $\left( {\frac{1}{3}; + \infty } \right)$: $y’ < 0$ $ \Rightarrow y$ nghịch biến trên  các khoảng $\left( { – \infty ; – \frac{1}{2}} \right)$ và $\left( {\frac{1}{3}; + \infty } \right).$
c. TXĐ: $D = R.$
Ta có: $y’ = \frac{{ – 2{x^2} + 4x}}{{{{\left( {{x^2} – x + 1} \right)}^2}}}.$ Với $\forall x \in R: y’ = 0$ $ \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2.$
Trên khoảng $\left( {0;2} \right)$: $y’ > 0$ $ \Rightarrow y$ đồng biến trên khoảng $\left( {0;2} \right).$
Trên khoảng $\left( { – \infty ;0} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$: $y’ < 0$ $ \Rightarrow y$ nghịch biến trên  các khoảng $\left( { – \infty ;0} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right).$

Ví dụ 7. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến (hoặc xét chiều biến thiên) của hàm số:
a. ${\rm{y}} = {\rm{x}} + \sqrt {2x – {x^2}} .$
b. $y = \left( {2x + 1} \right)\sqrt {9 – {x^2}} .$
c. $y = \sqrt {{x^2} – x – 20} .$

a. TXĐ: $D = \left[ {0;{\rm{2}}} \right].$
Ta có: $y’ = 1 + \frac{{1 – x}}{{\sqrt {2x – {x^2}} }}$ $ = \frac{{\sqrt {2x – {x^2}} + 1 – x}}{{\sqrt {2x – {x^2}} }}.$
$y’ = 0$ $ \Leftrightarrow \sqrt {2x – {x^2}} = x – 1$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 1\\
2x – {x^2} = {(x – 1)^2}
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 1\\
2{x^2} – 4x + 1 = 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow x = 1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}.$
Vậy, hàm số $y$ đồng biến trên $\left( {0;1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)$ và nghịch biến trên $\left( {1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2};2} \right).$
b. TXĐ: $D = \left[ { – 3;3} \right].$
Ta có: $y’ = 2\sqrt {9 – {x^2}} – \frac{{x\left( {2x + 1} \right)}}{{\sqrt {9 – {x^2}} }}$ $ = \frac{{ – 4{x^2} – x + 18}}{{\sqrt {9 – {x^2}} }}.$
Hàm số đã cho không có đạo hàm tại $x = – 3$ và $x = 3.$
Với $\forall x \in \left( { – 3;3} \right)$: $y’ = 0 \Leftrightarrow x = – \frac{9}{4}$ hoặc $x = 2.$
Bảng biến thiên:

Vậy, hàm số $y$ giảm trên các khoảng $\left( { – 3; – \frac{9}{4}} \right)$, $\left( {2;3} \right)$ và tăng trên khoảng $\left( { – \frac{9}{4};2} \right).$
c. TXĐ: $D = ( – \infty ; – 4] \cup [5; + \infty ).$
Ta có: $y’ = \frac{{2x – 1}}{{2\sqrt {{x^2} – x – 20} }}$ $ \Rightarrow y’ = 0$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x – 1 = 0\\
x < – 4 \vee x > 5
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{1}{2}\\
x < – 4 \vee x > 5
\end{array} \right.$

Nên phương trình $y’ = 0$ vô nghiệm.
Vậy hàm số $y$ đồng biến trên khoảng $(5; + \infty )$ và nghịch biến trên $( – \infty ; – 4).$

Ví dụ 8. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến (hoặc xét chiều biến thiên) của hàm số:
a. $y = 2\sin x + \cos 2x$ với $x \in \left[ {0;\pi } \right].$
b. $y = \sin 2x – 2\cos x – 2x$ với $x \in \left( { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right).$

a. Hàm số đã cho xác định trên đoạn $\left[ {0;\pi } \right].$
Ta có: $y’ = 2\cos x\left( {1 – 2\sin x} \right).$ Ta cần tìm nghiệm của phương trình $y’ = 0$ trên khoảng $\left( {0;\pi } \right).$
$y’ = 0 \Leftrightarrow x \in \left( {0;\pi } \right)$: $\left[ \begin{array}{l}
\cos x = 0\\
\sin x = \frac{1}{2}
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2}, x = \frac{\pi }{6}, x = \frac{{5\pi }}{6}.$
Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên suy ra: hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( {0;\frac{\pi }{6}} \right)$ và $\left( {\frac{\pi }{2};\frac{{5\pi }}{6}} \right)$, nghịch biến trên các khoảng $\left( {\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{2}} \right)$ và $\left( {\frac{{5\pi }}{6};\pi } \right).$
b. Hàm số đã cho xác định trên khoảng $\left( { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right).$
Ta có: $y’ = 2\cos 2x + 2\sin x – 2$ $ = 2\left( {1 – 2{{\sin }^2}x} \right) + 2\sin x – 2.$
$y’ = – 2\sin x\left( {2\sin x – 1} \right).$
Trên khoảng $\left( { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$: $y’ = 0$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \in \left( { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\\
– 2\sin x\left( {2\sin x – 1} \right) = 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = \frac{\pi }{6}
\end{array} \right.$
Bảng biến thiên:

Hàm số giảm trên các khoảng  $\left( { – \frac{\pi }{2};0} \right)$, $\left( {\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{2}} \right)$ và tăng trên khoảng $\left( {0;\frac{\pi }{6}} \right).$