Thực hiện các phép toán trên tập số phức

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải bài toán thực hiện các phép toán trên tập số phức: cộng, trừ, nhân, chia số phức, tìm phần thực và phần ảo của số phức, tính môđun số phức, số phức liên hợp … đây là dạng toán cơ bản trong chương trình Giải tích 12: Số phức.

**I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
****1. Các phép toán trên tập số phức
**$(a + bi) + (c + di)$ $ = (a + c) + (b + d)i.$
$(a + bi) – (c + di)$ $ = (a – c) + (b – d)i.$
$(a + bi).(c + di)$ $ = (ac – bd) + (bc + ad)i.$
$\frac{{a + bi}}{{c + di}}$ $ = \frac{{(a + bi)(c – di)}}{{(c + di)(c – di)}}$ $ = \frac{{(ac + bd) + (bc – ad)i}}{{{c^2} + {d^2}}}.$

2. Các định nghĩa
Số phức $z = a + bi$ $\left( {a,b \in R;{i^2} = – 1} \right)$ có phần thực là $a$, phần ảo là $b.$
$a + bi = c + di$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = c}\\
{b = d}
\end{array}} \right..$
$z = a + bi$ là số thực khi $b = 0$; $z= a+bi$ là số thuần ảo khi $a=0.$
Số phức $z=a+bi$ có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ là điểm $M(a;b).$
Môđun của số phức $z = a + bi$ là: $|z| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .$
Số phức liên hợp của số phức $z=a+bi$ là số phức $\bar z = a – bi.$

II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA
Ví dụ 1: Cho số phức $z = a + bi.$ Số phức ${z^2}$ có phần thực là:
A. $a + b.$
B. ${a^2} – {b^2}.$
C. $a – b.$
D. ${a^2} + {b^2}.$

Lời giải:
$z = a + bi$ $ \Rightarrow {z^2} = {a^2} – {b^2} + 2abi$ có phần thực là ${a^2} – {b^2}.$
Chọn đáp án B.

Ví dụ 2: Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Số phức $z = a + bi$ được biểu diễn bằng điểm $M(a;b)$ trong mặt phẳng $Oxy.$
B. Số phức $z = a + bi$ có môđun là $\sqrt {{a^2} + {b^2}} .$
C. Số phức $z = a + bi$ có số phức liên hợp là $z = – a + bi.$
D. Số phức $z = a + bi = 0$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = 0}\\
{b = 0}
\end{array}} \right..$

Lời giải:
Ta có số phức liên hợp của $z = a + bi$ là $\bar z = a – bi.$
Chọn đáp án C.

Ví dụ 3: Cho số phức $z = a + bi$ $(a,b \in R)$ tùy ý. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Số phức liên hợp của $z$ có mô đun bằng mô đun của $iz.$
B. Mô đun của $z$ là một số thực dương.
C. ${z^2} = |z{|^2}.$
D. Điểm $M( – a;b)$ là điểm biểu diễn của $\overline z .$

Lời giải:
Ta có: $z = a + bi$ $ \Rightarrow \bar z = a – bi$ $ \Rightarrow |\bar z| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .$
$iz$ $ = i(a + bi)$ $ = – b + ai$ $ \Rightarrow |iz| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $ $ \Rightarrow |\bar z| = |iz|.$
Chọn đáp án A.

Ví dụ 4: Cho số phức $z = 2 – 3i.$ Tìm phần thực $a$ của $z$?
A. $a=2.$
B. $a=3.$
C. $a=-2.$
D. $a=-3.$

Lời giải:
Theo định nghĩa số phức $z = a + bi$ $(a,b \in R)$ có phần thực là $a$ $ \Rightarrow z = 2 – 3i$ có phần thực $a=2.$
Chọn đáp án A.

Ví dụ 5: Cho hai số phức ${z_1} = i$ và ${z_2} = 3 + 4i.$ Gọi $a$ là phần thực của số phức $z = z_1^{2018} – 2{z_2}.$ Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. ${a^2} – 2a = 100.$
B. $a + {a^2} = 72.$
C. $a – {a^2} = – 56.$
D. ${a^2} – a = 42.$

Lời giải:
$z = z_1^{2018} – 2{z_2}$ $ = {i^{2018}} – 2(3 + 4i)$ $ = {\left( {{i^2}} \right)^{1009}} – 6 – 8i$ $ = – 7 – 8i.$
$ \Rightarrow a = – 7$ $ \Rightarrow a – {a^2} = – 56.$
Chọn đáp án C.

Ví dụ 6: Cho số phức $z = a + bi$ $(a,b \in R).$ Phần thực của số phức $z.\bar z$ bằng?
A. ${a^2} – {b^2}.$
B. ${a^2} + {b^2}.$
C. ${a^2}.$
D. ${b^2}.$

Lời giải:
$z.\bar z$ $ = (a + bi)(a – bi)$ $ = {a^2} + {b^2}$ có phần thực là ${a^2} + {b^2}.$
Chọn đáp án B.

Ví dụ 7: Cho số phức $z = 2 + i.$ Phần ảo của số phức ${z^3} + 2{z^2}\bar z + 3$ bằng?
A. $-25.$
B . $21i.$
C. $21.$
D. $25.$

Lời giải:
${z^3} + 2{z^2}\bar z + 3$ $ = {(2 + i)^3} + 2{(2 + i)^2}(2 – i) + 3$ $ = 25 + 21i$ có phần ảo bằng $21.$
Chọn đáp án C.

Ví dụ 8: Cho hai số phức ${z_1} = 3 – 4i$, ${z_2} = 1 + i.$ Tìm phần ảo $b$ của số $z = \frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} + \left| {{z_1}} \right|{z_2} + 2i.$
A. $b = \frac{{15}}{2}i.$
B. $b = – \frac{{17}}{2}.$
C. $b = \frac{{17}}{2}.$
D. $b = \frac{{15}}{2}.$

Lời giải:
$z = \frac{{\overline {{z_1}} }}{{{z_2}}} + \left| {{z_1}} \right|{z_2} + 2i$ $ = \frac{{3 + 4i}}{{1 + i}} + |3 – 4i|(1 + i) + 2i$ $ = \frac{{17}}{2} + \frac{{15}}{2}i$ có phần ảo $b = \frac{{15}}{2}.$
Chọn đáp án D.

Ví dụ 9: Hiệu phần thực và phần ảo của số phức $z = (1 + 2i)(3 – i)$ là:
A. $6.$
B. $10.$
C. $5.$
D. $0.$

Lời giải:
Ta có $z = 3 – i + 6i – 2{i^2}$ $ = 5 + 5i$ nên hiệu phần thực và phần ảo của $z$ bằng $0.$
Chọn đáp án D.

Ví dụ 10: Cho số phức $z = (m + 1 – 2i)(2m + 3 + i)$ với $m$ là tham số thực. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của $m$ để $z$ có phần thực bằng $5.$
A. $\left\{ {0, – \frac{5}{2}} \right\}.$
B. $\left\{ {1,\frac{5}{2}} \right\}.$
C. $\left\{ { – 1,\frac{3}{2}} \right\}.$
D. $\left\{ {2, – \frac{5}{3}} \right\}.$

Lời giải:
$z = (m + 1 – 2i)(2m + 3 + i)$ $ = 2{m^2} + 5m + 5 + ( – 3m – 5)i.$
$2{m^2} + 5m + 5 = 5$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m = 0}\\
{m = – \frac{5}{2}}
\end{array}} \right..$
Chọn đáp án A.

Ví dụ 11: Cho hai số phức $z = 1 + 3i$, $w = 2 – i.$ Tìm phần ảo của số phức $u = \overline z .w.$
A. $5i.$
B. $-7i.$
C. $-7.$
D. $5.$

Lời giải:
$u = \bar z.w$ $ = (1 – 3i)(2 – i)$ $ = – 1 – 7i$ có phần ảo bằng $-7.$
Chọn đáp án C.

Ví dụ 12: Cho số phức $z = 1 – i + {i^3}.$ Tìm phần thực $a$ và phần ảo $b$ của $z.$
A. $a =1$, $b=-2.$
B. $a=-2$, $b=1.$
C. $a=1$, $b=0.$
D. $a=0$, $b=1.$

Lời giải:
$z = 1 – i + {i^3} = 1 – 2i$ $ \Rightarrow a = 1$, $b = – 2.$
Chọn đáp án A.

Ví dụ 13: Cho số phức $z = 1 + i + {i^2} + \ldots + {i^{2018}}.$ Điểm biểu diễn của số phức $z$ trên mặt phẳng tọa độ là:
A. $M(1;0).$
B. $N(0;1).$
C. $P(1;1).$
D. $Q(1;-1).$

Lời giải:
$z = 1 + i + {i^2} + \ldots + {i^{2018}}$ $ = 1.\frac{{1 – {i^{2019}}}}{{1 – i}}$ $ = \frac{{1 – {{\left( {{i^2}} \right)}^{1009}}i}}{{1 – i}} = i$ có điểm biểu diễn là $N(0;1).$
Chọn đáp án B.

Ví dụ 14: Cho số phức ${z_1} = 1 – 2i$, ${z_2} = – 3 + i.$ Tìm điểm biểu diễn của số phức $z = {z_1} + {z_2}$ trên mặt phẳng tọa độ.
A. $N(4;-3).$
B. $M(2;-5).$
C. $P(-2;-1).$
D. $Q(-1;7).$

Lời giải:
$z = {z_1} + {z_2}$ $ = (1 – 2i) + ( – 3 + i)$ $ = – 2 – i$ có điểm biểu diễn là $P(-2;-1).$
Chọn đáp án C.

Ví dụ 15: Cho số phức $z = (3 + i)(3 – 2i) + {(2 + i)^3}$ có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ là $M(a;b).$ Tính $T= a + 2b.$
A. $T=-29.$
B. $T=-3.$
C. $T=3.$
D. $T= 29.$

Lời giải:
$z = (3 + i)(3 – 2i) + {(2 + i)^3}$ $ = 13 + 8i.$
$ \Rightarrow a = 13$, $b = 8$ $ \Rightarrow T = a + 2b = 29.$
Chọn đáp án D.

Ví dụ 16: Cho hai số phức ${z_1} = (1 + i)(2 + i) – i$, ${z_2} = {(1 + i)^5}$ có các điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ lần lượt là $M$, $N.$ Tính độ dài đoạn $MN.$
A. $MN = \sqrt {13} .$
B. $MN = \sqrt {29} .$
C. $MN = 3\sqrt 5 .$
D. $MN = \sqrt {61} .$

Lời giải:
${z_1} = (1 + i)(2 + i) – i$ $ = 1 + 2i$ $ \Rightarrow M(1;2)$; ${z_2} = {(1 + i)^5} = – 4 – 4i$ $ \Rightarrow N( – 4; – 4).$
$ \Rightarrow MN$ $ = \sqrt {{{( – 4 – 1)}^2} + {{( – 4 – 2)}^2}} $ $ = \sqrt {61} .$
Chọn đáp án D.

Ví dụ 17: Cho hai số phức ${z_1} = {(1 + i)^2}$, ${z_2} = \frac{{2 + 4i}}{{{z_1}}}$ có các điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ lần lượt là $M$, $N.$ Tính diện tích $S$ của tam giác $OMN.$
A. $S=1.$
B. $S = \frac{3}{2}.$
C. $S = 2.$
D. $S = \frac{5}{2}.$

Lời giải:
${z_1} = {(1 + i)^2} = 2i$ $ \Rightarrow M(0;2)$; ${z_2} = \frac{{2 + 4i}}{{{z_1}}}$ $ = \frac{{2 + 4i}}{{2i}} = 2 – i$ $ \Rightarrow N(2; – 1).$
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {OM} = (0;2)}\\
{\overrightarrow {ON} = (2; – 1)}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow S = \frac{1}{2}\left| {0 \times ( – 1) – 2 \times 2} \right| = 2.$
Chọn đáp án C.

Ví dụ 18: Cho số phức $z = 3 – i.$ Tính môđun của số phức $\omega = {z^2} – (1 + i)z + 2.$
A. $|\omega | = 2\sqrt 2 .$
B. $|\omega | = 8.$
C. $|\omega | = 10.$
D. $|\omega | = 100.$

Lời giải:
$\omega = {z^2} – (1 + i)z + 2$ $ = {(3 – i)^2} – (1 + i)(3 – i) + 2$ $ = 6 – 8i.$
$ \Rightarrow |\omega | = \sqrt {{6^2} + {{( – 8)}^2}} = 10.$
Chọn đáp án C.

Ví dụ 19: Cho số phức $z = 3 + 4i.$ Tính môđun của số phức $\omega = (z + i)(2 + \bar z) + 3|z|.$
A. $|\omega | = 2669.$
B. $|\omega | = \sqrt {2669} .$
C. $|\omega | = 113.$
D. $|\omega | = \sqrt {113} .$

Lời giải:
$\omega = (z + i)(2 + \bar z) + 3|z|$ $ = (3 + 4i + i)(2 + 3 – 4i) + 3|3 + 4i|$ $ = 50 + 13i.$
$ \Rightarrow |\omega | = \sqrt {{{50}^2} + {{13}^2}} = \sqrt {2669} .$
Chọn đáp án B.

Ví dụ 20: Cho hai số phức ${z_1} = 1 – 2i$, ${z_2} = 3 + i.$ Tính môđun của số phức $\omega = \left( {{z_1} + {z_2}} \right){z_1} + \left( {{z_2} + 3} \right)(2 – i).$
A. $|\omega | = 394.$
B. $|\omega | = \sqrt {394} .$
C. $|\omega | = 231.$
D. $|\omega | = \sqrt {231} .$

Lời giải:
$\omega = \left( {{z_1} + {z_2}} \right){z_1} + \left( {{z_2} + 3} \right)(2 – i).$
$ = (1 – 2i + 3 + i)(1 – 2i)$ $ + (3 + i + 3)(2 – i)$ $ = 15 – 13i.$
$ \Rightarrow |\omega | = \sqrt {{{15}^2} + {{( – 13)}^2}} = \sqrt {394} .$
Chọn đáp án B.

Ví dụ 21: Cho hai số phức ${z_1} = 2 + mi$, ${z_2} = n + i$ $(m,n \in R).$ Tìm số phức liên hợp của số phức $\omega = 2{z_1} + 3{z_2}.$
A. $\bar \omega = 4 + 3n – (2m + 3)i.$
B. $\bar \omega = 4 + 3n + (2m + 3)i.$
C. $\bar \omega = – 4 – 3n + (2m + 3)i.$
D. $\bar \omega = – 4 – 3n – (2m + 3)i.$

Lời giải:
$\omega = 2{z_1} + 3{z_2}$ $ = 2(2 + mi) + 3(n + i)$ $ = 4 + 3n + (2m + 3)i.$
$ \Rightarrow \bar \omega = 4 + 3n – (2m + 3)i.$
Chọn đáp án A.

Ví dụ 22: Cho số phức $z = 2 + mi$ $(m \in R).$ Tìm số phức liên hợp của số phức $\omega = (z + 2)(1 + i) + 3i.$
A. $\bar \omega = 4 – m + (m + 7)i.$
B. $\bar \omega = 4 – m – (m + 7)i.$
C. $\bar \omega = – 4 + m – (m + 7)i.$
D. $\bar \omega = – 4 + m + (m + 7)i.$

Lời giải:
$\omega = (4 + mi)(1 + i) + 3i$ $ = 4 – m + (m + 4)i + 3i$ $ = 4 – m + (m + 7)i.$
$ \Rightarrow \bar \omega = 4 – m – (m + 7)i.$
Chọn đáp án B.

Ví dụ 23: Cho số phức $z = 1 + 2i.$ Điểm biểu diễn số phức liên hợp của số phức $\omega = (\overline {z + i} )(2 + i) – 4i$ trong mặt phẳng tọa độ là?
A. $M(5;-9).$
B. $N(-5;-9).$
C. $P(5;9).$
D. $Q(-5;9).$

Lời giải:
$\omega = (\overline {z + i} )(2 + i) – 4i$ $ = (1 – 3i)(2 + i) – 4i$ $ = 5 – 9i$ $ \Rightarrow \bar \omega = 5 + 9i$ có điểm biểu diễn là $P(5;9).$
Chọn đáp án C.

Ví dụ 24: Cho số phức $z = m + 2i$ $(m \in R).$ Tìm $m$ để $(z + 3)(1 + 2i)$ là một số thuần ảo.
A. $m=5.$
B. $m=1.$
C. $m=-1.$
D. $m=-5.$

Lời giải:
$(z + 3)(1 + 2i)$ $ = (3 + m + 2i)(1 + 2i)$ $ = (m – 1) + (2m + 8)i.$
$ \Rightarrow (z + 3)(1 + 2i)$ là số thuần ảo khi $m – 1 = 0$ $ \Leftrightarrow m = 1.$
Chọn đáp án B.

Ví dụ 25: Cho số phức $z = 3 + mi$ $(m \in R).$ Tìm $m$ để $(\bar z + 1)(2 – i)$ là một số thực.
A. $m=8.$
B. $m=2.$
C. $m=-2.$
D. $m=-8.$

Lời giải:
$(\bar z + 1)(2 – i)$ $ = (4 – mi)(2 – i)$ $ = (8 – m) + ( – 2m – 4)i.$
$ \Rightarrow (\bar z + 1)(2 – i)$ là số thực khi $ – 2m – 4 = 0$ $ \Leftrightarrow m = – 2.$
Chọn đáp án C.

Ví dụ 26: Cho số phức $z = m + ni$ $(m,n \in R)$ thỏa mãn $(z + 1)(1 + i) = 3 + 5i.$ Tính $S = m + 2n.$
A. $S=-7.$
B. $S=-5.$
C. $S=5.$
D. $S=7.$

Lời giải:
$(z + 1)(1 + i) = 3 + 5i$ $ \Leftrightarrow (m + 1 + ni)(1 + i) = 3 + 5i.$
$ \Leftrightarrow m + 1 – n + (m + 1 + n)i = 3 + 5i.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m + 1 – n = 3}\\
{m + 1 + n = 5}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m = 3}\\
{n = 1}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow S = m + 2n = 5.$
Chọn đáp án C.

Ví dụ 27: Tìm tất cả các số thực $x$, $y$ sao cho ${x^2} – 1 + yi = – 1 + 2i.$
A. $x = \sqrt 2 $, $y = 2.$
B. $x = – \sqrt 2 $, $y = 2.$
C. $x = 0$, $y = 2.$
D. $x = \sqrt 2 $, $y = – 2.$

Lời giải:
${x^2} – 1 + yi = – 1 + 2i$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} – 1 = – 1}\\
{y = 2}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{y = 2}
\end{array}} \right..$
Chọn đáp án C.

Ví dụ 28: Cho $x,y \in R$ là hai số thực thỏa mãn $\frac{{x + yi}}{{1 – i}} = 3 + 2i.$ Tính $S = x + y + xy.$
A. $S=-9.$
B. $S=-1.$
C. $S=1.$
D. $S=9.$

Lời giải:
Ta có: $\frac{{x + yi}}{{1 – i}} = 3 + 2i$ $ \Leftrightarrow x + yi = (3 + 2i)(1 – i)$ $ \Leftrightarrow x + yi = 5 – i$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 5}\\
{y = – 1}
\end{array}} \right..$
$ \Rightarrow S = x + y + xy = – 1.$
Chọn đáp án B.

Ví dụ 29: Trên tập số phức cho $(2x + y) + (2y – x)i$ $ = (x – 2y + 3) + (y + 2x + 1)i$ với $x,y \in R.$ Tính giá trị của biểu thức $S=x+y.$
A. $S=1.$
B. $S=2.$
C. $S=-1.$
D. $S=-2.$

Lời giải:
Ta có $(2x + y) + (2y – x)i$ $ = (x – 2y + 3) + (y + 2x + 1)i.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x + y = x – 2y + 3}\\
{2y – x = y + 2x + 1}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{y = 1}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow S = x + y = 1.$
Chọn đáp án A.

Ví dụ 30: Cho $x,y \in R$ thỏa mãn $x + 2y + (2x – y)i$ $ = 2x + y + (x + 2y)i.$ Tính $S = 2x + 4y.$
A. $S=-1.$
B. $S=0.$
C. $S=1.$
D. $S=2.$

Lời giải:
$x + 2y + (2x – y)i$ $ = 2x + y + (x + 2y)i.$
$ \Leftrightarrow (x + 2y – 2x – y)$ $ + (2x – y – x – 2y)i = 0.$
$ \Leftrightarrow (y – x) + (x – 3y)i = 0$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = y}\\
{x = 3y}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x = y = 0$ $ \Rightarrow S = 2x + 4y = 0.$
Chọn đáp án B.

Ví dụ 31: Cho số phức $z = a + bi$ $(a,b \in R)$ thoả mãn $z + 2 + i = |z|.$ Tính $S = 4a + b.$
A. $S=4.$
B. $S=2.$
C. $S=-2.$
D. $S=-4.$

Lời giải:
$z + 2 + i = |z|$ $ \Leftrightarrow (a + 2) + (b + 1)i$ $ = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a + 2 = \sqrt {{a^2} + {b^2}} }\\
{b + 1 = 0}
\end{array}} \right..$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{b = – 1}\\
{{{(a + 2)}^2} = {a^2} + 1}\\
{a \ge – 2}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = – \frac{3}{4}}\\
{b = – 1}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow S = 4a + b = – 4.$
Chọn đáp án D.

Ví dụ 32: Cho số phức $z = a + bi$ $(a,b \in R)$ có phần thực gấp ba lần phần ảo và thỏa mãn $(z + 1)(2 – i)$ là một số thuần ảo. Tính $S = a + 4b.$
A. $S = – \frac{{26}}{7}.$
B. $S = – 2.$
C. $S = 2.$
D. $S = \frac{{26}}{7}.$

Lời giải:
$z = a + bi$ có phần thực gấp ba lần phần ảo $ \Rightarrow a = 3b$ $(1).$
$(z + 1)(2 – i)$ $ = (a + 1 + bi)(2 – i)$ $ = (2a + b + 2) + (2b – a – 1)i.$
$(z + 1)(2 – i)$ là số thuần ảo $ \Rightarrow 2a + b + 2 = 0$ $(2).$
Từ $(1)$ và $(2)$ $ \Rightarrow a = – \frac{6}{7}$, $b = – \frac{2}{7}$ $ \Rightarrow S = a + 4b = – 2.$
Chọn đáp án B.

Ví dụ 33: Cho hai số phức ${z_1} = 1 + 2i$ và ${z_2} = m – 3 + \left( {{m^2} – 6} \right)i$ $(m \in R).$ Tìm $S$ là tổng tất cả các giá trị $m$ để ${z_1} + {z_2}$ là số thực.
A. $S=0.$
B. $S=2.$
C. $S=4.$
D. $S=-4.$

Lời giải:
${z_1} + {z_2} = m – 2 + \left( {{m^2} – 4} \right)i$; ${z_1} + {z_2}$ là số thực $ \Rightarrow {m^2} – 4 = 0$ $ \Leftrightarrow m = 2 \vee m = – 2.$
$ \Rightarrow S = 2 + ( – 2) = 0.$
Chọn đáp án A.

Ví dụ 34: Cho số phức $z = a + bi$ $(a,b \in R)$ có phần ảo gấp đôi phần thực và thỏa mãn $(\bar z + 1)(1 – i)$ là một số thực. Tính $S = 2a + 3b.$
A. $S = – \frac{8}{3}.$
B. $S = – \frac{7}{3}.$
C. $S = \frac{7}{3}.$
D. $S = \frac{8}{3}.$

Lời giải:
$z = a + bi$ có phần ảo gấp đôi phần thực $ \Rightarrow b = 2a$ $(1).$
$(\bar z + 1)(1 – i)$ $ = (a + 1 – bi)(1 – i)$ $ = (a + 1 – b) + ( – a – 1 – b)i.$
$(\bar z + 1)(1 – i)$ là số thực $ \Rightarrow – a – b – 1 = 0$ $(2).$
Từ $(1)$ và $(2)$ $ \Rightarrow a = – \frac{1}{3}$, $b = – \frac{2}{3}$ $ \Rightarrow S = 2a + 3b = – \frac{8}{3}.$
Chọn đáp án A.

Ví dụ 35: Cho số phức $z = a + bi$ $(a,b \in R)$ thỏa mãn $|z + 1 + i| = |\bar z + 2 + i|$ và $(2z + 1)(1 + i)$ có phần thực bằng phần ảo. Tính $S = a+3b.$
A. $S = – \frac{9}{2}.$
B. $S = – \frac{3}{2}.$
C. $S = \frac{3}{2}.$
D. $S = \frac{9}{2}.$

Lời giải:
$|z + 1 + i| = |\bar z + 2 + i|$ $ \Leftrightarrow |a + 1 + (b + 1)i|$ $ = |a + 2 + (1 – b)i|.$
$ \Leftrightarrow \sqrt {{{(a + 1)}^2} + {{(b + 1)}^2}} $ $ = \sqrt {{{(a + 2)}^2} + {{(1 – b)}^2}} .$
$ \Leftrightarrow {a^2} + 2a + 1 + {b^2} + 2b + 1$ $ = {a^2} + 4a + 4 + 1 – 2b + {b^2}$ $ \Leftrightarrow 2a – 4b = – 3$ $(1).$
$(2z + 1)(1 + i)$ $ = (2a + 1 + 2bi)(1 + i)$ $ = (2a + 1 – 2b) + (2a + 1 + 2b)i.$
$(2z + 1)(1 + i)$ có phần thực bằng phần ảo.
$ \Rightarrow 2a + 1 – 2b = 2a + 1 + 2b$ $ \Rightarrow b = 0$ $(2).$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $a = – \frac{3}{2}$, $b = 0$ $ \Rightarrow S = a + 3b = – \frac{3}{2}.$
Chọn đáp án B.