Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Bài viết hướng dẫn viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, bao gồm các dạng bài: viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị, viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết hệ số góc cho trước, viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước.
Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị
Bài toán 1: Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị $(C)$ và điểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in (C).$ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ tại điểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in (C).$
Phương pháp giải:
+ Tiếp tuyến tại một điểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in (C)$ có hệ số góc là $f'({x_0}).$
+ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại điểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ có dạng: $y – {y_0} = f'({x_0})(x – {x_0})$ hay $y – f({x_0}) = f'({x_0})(x – {x_0}).$
Ví dụ 1: Cho hàm số $y = x^3 – 6x^2 + 9x$ có đồ thị $(C)$. Hãy viết phương trình tiếp tuyến tại điểm $M(2;2) \in (C).$
Ta có: $y’=3x^2 – 12x + 9.$
Với: $x = 2$; $y = 2$ và $y'(2) = -3.$ Phương trình tiếp tuyến với đồ thị $(C)$ tại điểm $A(2;2)$ là:
$y = – 3(x – 2) + 2$ hay $y = – 3x + 8.$
Ví dụ 2: Cho hàm số $y = 2 + 3x – x^3$ có đồ thị $(C).$ Hãy viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị.
Ta có:
$y’ = 3 – 3{x^2}.$
$y” = – 6x.$
$y” = 0 \Leftrightarrow x = 0.$
Suy ra toạ độ điểm uốn là $(0;2).$
$y'(0) = 3.$
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm uốn là:
$y = 3(x – 0) + 2$ hay $y = 3x + 2.$
Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại điểm có hoành độ $x = x_0$ (hoặc $y = y_0$).
Phương pháp giải:
+ Với $x = x_0 ⇒ y = f(x_0).$
+ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại điểm có hoành độ $x = x_0$ có dạng: $y = f'(x_0)(x – x_0) + y_0 .$
Áp dụng tương tự với tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ $y = y_0 .$
Ví dụ 3: Cho hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} – 1$ có đồ thị $(C).$ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ tại điểm có hoành độ $-1.$
Hoành độ tiếp điểm là $x = – 1$ nên tung độ tiếp điểm là $y = 1.$
$y’ = 3{x^2} + 6x \Rightarrow y'( – 1) = – 3.$
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại $(-1;1)$ là:
$y = – 3(x + 1) + 1$ hay $y = – 3x – 2.$
Ví dụ 4: Cho hàm số $y = \frac{{3{\rm{x}} + 1}}{{1 – x}}$ có đồ thị $(C)$. Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm có tung độ $–7.$
Với $y_0 = -7$, ta có: $-7 = \frac{{3{\rm{x_0}} + 1}}{{1 – x_0}}$ $⇔x_0 = 2.$
$y’ = \frac{4}{{{{(1 – x)}^2}}} \Rightarrow y'(2) = 4.$
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại $(2;-7)$ là: $y = 4(x – 2) – 7$ hay $y = 4x – 15.$
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết hệ số góc cho trước
Bài toán 3: Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị $(C)$ và một số $k \in R.$ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ có hệ số góc $k.$
Phương pháp giải:
Cách 1: Phương pháp tìm tiếp điểm:
+ Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc $k$ tiếp xúc với $(C)$ tại điểm có hoành độ ${x_i}$ $ \Rightarrow f'({x_i}) = k \Rightarrow x = {x_i}$ là nghiệm của phương trình $f'(x) = k.$
+ Giải phương trình $f'(x) = k$, suy ra nghiệm $x = \left\{ {{x_0},{x_1},…{x_n}} \right\},n \in {Z^ + }.$
+ Phương trình tiếp tuyến tại ${x_i}$ là: $y = k(x – {x_i}) + f({x_i}).$
Cách 2: Phương pháp điều kiện kép:
Xét đường thẳng có hệ số góc $k$ có phương trình $y = kx + m$ ($m$ là ẩn) tiếp xúc với đồ thị $(C)$: $y = f(x).$ Khi đó ta có phương trình $kx + m = f(x)$ có nghiệm kép. Áp dụng điều kiện để phương trình có nghiệm kép, suy ra được $m$. Từ đó suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm.
Nhận xét: Vì điều kiện $({C_1}):y = f(x)$ và $({C_2}):y = g(x)$ tiếp xúc nhau là hệ điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}
f(x) = g(x)\\
f'(x) = g'(x)
\end{array} \right.$ có nghiệm kép chứ không phải điều kiện phương trình $f(x) = g(x)$ có nghiệm kép nên cách 2 chỉ sử dụng được cho các dạng hàm số $y = f(x)$ mà phương trình tương giao $kx + m = f(x)$ có thể biến đổi tương đương về một phương trình bậc 2 (khi đó điều kiện để có nghiệm kép là ${\Delta _m} = 0$).
Chú ý: Ta có các dạng biểu diễn của hệ số góc $k$ như sau:
+ Dạng trực tiếp.
+ Tiếp tuyến tạo với chiều dương $Ox$ góc $\alpha $ khi đó hệ số góc $k = \tan \alpha .$
+ Tiếp tuyến song song với đường thẳng $y = {\rm{ax + b}}$, khi đó hệ số góc $k = a.$
+ Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $y = {\rm{ax + b}}$, khi đó $ka = – 1 \Rightarrow k = – \frac{1}{a}.$
+ Tiếp tuyến tạo với đường thẳng $y = {\rm{ax + b}}$ một góc $\alpha $, khi đó: $\left| {\frac{{k – a}}{{1 + ka}}} \right| = \tan \alpha .$
Ví dụ 5: Cho hàm số $y = x^3 – 3x^2$ có đồ thị $(C).$ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ biết hệ số góc của tiếp tuyến $k = -3.$
Ta có: $y’ = 3x^2 – 6x.$
Do hệ số góc của tiếp tuyến là $k = -3$ nên: $3x^2 – 6x = -3$ $⇔ x = 1.$
Với $x = 1 ⇒ y = -2.$ Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: $y = -3(x – 1) – 2$ $⇔ y = -3x + 1.$
Ví dụ 6: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^3 – 3x^2 + 1$ $(C).$ Biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng $y = 9x + 2009.$
Ta có: $y’ = 3x^2 – 6x.$
Do tiếp tuyến đó song song với đường thẳng $y = 9x + 2009$ nên tiếp tuyến có hệ số góc $k = 9$ $⇔3x^2 – 6x = 9$ $⇔x = -1$ hoặc $x = 3.$
+ Với $x = -1 ⇒ y = -3.$ Phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại $x = -1$ là: $y = 9(x + 1) – 3$ $⇔ y = 9x + 6.$
+ Với $x = 3 ⇒ y = 1.$ Phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại $x = 3$ là: $y = 9(x – 3) + 1$ $⇔y = 9x – 26.$
Vậy $(C)$ có hai tiếp tuyến song song với đường thẳng $y = 9x + 2009$ là: $y = 9x + 6$ và $y = 9x – 26.$
Ví dụ 7: Cho hàm số $y = x^3 – 3x + 2$ có đồ thị $(C).$ Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng $y = \frac {-1}{9}x.$
Ta có: $y’ = 3x^2 – 3.$
Do tiếp tuyến của $(C)$ vuông góc với đường thẳng $y = \frac {-1}{9}x$ nên hệ số góc của tiếp tuyến $k = 9$ $⇔3x^2 – 3 = 9$ $⇔x = ±2.$
+ Với $x = 2 ⇒ y = 4.$ Phương trình tiếp tuyến tại $x = 2$ là: $y = 9(x – 2) + 4$ $⇔y = 9x – 14.$
+ Với $x = -2 ⇒ y = 0.$ Phương trình tiếp tuyến tại $x = -2$ là: $y = 9(x + 2) + 0$ $⇔y = 9x + 18.$
Vậy $(C)$ có hai tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $y = \frac {-1}{9}x$ là: $y = 9x – 14$ và $y = 9x + 18.$
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước
Bài toán 4: Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị $(C)$ và điểm $A\left( {{x_A};{y_A}} \right)$ cho trước. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ qua $A$ đến đồ thị $(C).$
Phương pháp giải:
Cách 1: Thực hiện theo các bước:
+ Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A\left( {{x_A};{y_A}} \right)$ có phương trình: $d: y = k(x – {x_A}) + {y_A}.$
+ $d$ tiếp xúc với $(C)$ khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
$\left\{ \begin{array}{l}
f(x) = k(x – {x_A}) + {y_A}\\
f'(x) = k
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f(x) = f'(x)(x – {x_A}) + {y_A}\\
f'(x) = k
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow k.$
+ Kết luận về tiếp tuyến $d.$
Cách 2: Thực hiện theo các bước:
+ Giả sử tiếp điểm là $M({x_0};{y_0})$ khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng $d$: $y = y'({x_0})(x – {x_0}) + {y_0}.$
+ Điểm $A\left( {{x_A};{y_A}} \right) \in d$, ta được ${y_A} = y'({x_0})({x_A} – {x_0}) + {y_0}$ $ \Rightarrow {x_0}.$
Ví dụ 8: Cho hàm số $(C)$: $y = \frac {1}{3}x^3 – x^2.$ Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ đi qua điểm $A(3;0).$
Ta có: $y’= x^2 – 2x.$
Gọi đường thẳng qua $A(3;0)$ có hệ số góc $k$ → Phương trình có dạng: $y = k.(x – 3) + 0.$
Để đường thẳng là tiếp tuyến của đồ thị hàm số thì: $\left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{3}{x^3} – {x^2} = k(x – 3)\\
k = {x^2} – 2x
\end{array} \right.$ có nghiệm.
Thay (2) vào (1) ta có: $\frac{1}{3}{x^3} – {x^2} = ({x^2} – 2x)(x – 3)$ $⇔ x = 0$ và $x = 3.$
+ Với $x = 0$ $⇒ k = 0.$ Phương trình tiếp tuyến: $y = 0.$
+ Với $x = 3$ $⇒ k = 3.$ Phương trình tiếp tuyến: $y = 3.(x – 3) = 3x – 9.$
Vậy có hai phương trình tiếp tuyến đi qua $A(3;0)$ là: $y = 0$ và $y = 3x – 9.$
