Tính tích phân bằng phương pháp phân tích

Bài viết hướng dẫn tính tích phân bằng phương pháp phân tích. Kiến thức và các ví dụ trong bài viết được tham khảo từ các tài liệu nguyên hàm – tích phân và ứng dụng được đăng tải trên MeToan.Com.

Phương pháp:
Để tính tích phân $I = \int\limits_a^b {f(x)dx} $ ta phân tích $f(x) = {k_1}{f_1}(x) + … + {k_m}{f_m}(x)$, trong đó các hàm ${f_i}(x){\rm{ }}(i = 1,2,3,…,n)$ có trong bảng nguyên hàm.

Ví dụ 1. Tính các tích phân sau:
1. $I = \int\limits_0^1 {\frac{{xdx}}{{\sqrt {3x + 1} + \sqrt {2x + 1} }}} .$
2. $J = \int\limits_2^7 {\frac{{xdx}}{{\sqrt {x + 2} + \sqrt {x – 2} }}} .$

1. Ta có: $x = (3x + 1) – (2x + 1)$ $ = (\sqrt {3x + 1} – \sqrt {2x + 1} )$$(\sqrt {3x + 1} + \sqrt {2x + 1} ).$
Nên $I = \int\limits_0^1 {(\sqrt {3x + 1} – \sqrt {2x + 1} )dx} $ $ = \left. {\left[ {\frac{2}{9}\sqrt {{{(3x + 1)}^3}} – \frac{1}{3}\sqrt {{{(2x + 1)}^3}} } \right]} \right|_0^1$ $ = \frac{{17 – 9\sqrt 3 }}{9}.$
2. Ta có $x$ $ = \frac{1}{4}(\sqrt {x + 2} + \sqrt {x – 2} )$$(\sqrt {x + 2} – \sqrt {x – 2} ).$
Nên $J = \frac{1}{4}\int\limits_2^7 {\left( {\sqrt {x + 2} – \sqrt {x – 2} } \right)dx} $ $ = \frac{{19 – 5\sqrt 5 }}{6}.$

Ví dụ 2. Tính các tích phân sau:
1. $I = \int\limits_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2x.\sin 3x} {\rm{ }}.$
2. $J = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\cos }^4}2x} dx.$

1. Ta có: $I = \frac{1}{2}\int\limits_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {(\cos x – \cos 5x)dx} $ $ = \left. {\frac{1}{2}(\sin x – \frac{1}{5}\sin 5x)} \right|_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}$ $ = \frac{4}{5}.$
2. Ta có: ${\cos ^4}2x$ $ = \frac{1}{2}(1 + 2\cos 4x + {\cos ^2}4x)$ $ = \frac{1}{4}(3 + 4\cos 4x + \cos 8x).$
Nên $J = \frac{1}{4}\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {(3 + 4\cos 4x + \cos 8x)dx} $ $ = \frac{1}{4}\left. {\left( {3x + \sin 4x + \frac{1}{8}\sin 8x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}}$ $ = \frac{{3\pi }}{{16}}.$

Ví dụ 3. Tính các tích phân sau:
1. $I = \int\limits_3^4 {\frac{{{x^2}dx}}{{{x^2} – 3x + 2}}} .$
2. $J = \int\limits_2^3 {\frac{{2x + 3}}{{{x^3} – 3x + 2}}dx} .$

1. Ta có: $\frac{{{x^2}}}{{{x^2} – 3x + 2}}$ $ = 1 + \frac{3}{2}\frac{{2x – 3}}{{{x^2} – 3x + 2}}$ $ + \frac{5}{2}\frac{1}{{{x^2} – 3x + 2}}$ $ = 1 + \frac{3}{2}\frac{{2x – 3}}{{{x^2} – 3x + 2}}$ $ + \frac{5}{2}\left( {\frac{1}{{x – 2}} – \frac{1}{{x – 1}}} \right).$
Suy ra: $I = $ $\left. {\left( {x + \frac{3}{2}ln\left| {{x^2} – 3x + 2} \right| + \frac{5}{2}\ln \left| {\frac{{x – 2}}{{x – 1}}} \right|} \right){\rm{ }}} \right|_3^4$ $ = 1 + \frac{3}{2}\ln 3 + \frac{5}{2}\ln \frac{4}{3}.$
2. Ta có: ${x^3} – 3x + 2$ $ = {(x – 1)^2}(x + 2)$
$2x + 3 = a{(x – 1)^2}$ $ + b(x + 2)(x – 1) + c(x + 2)$
$ \Leftrightarrow 2x + 3 = (a + b){x^2}$ $ + (c – 2a + b)x + a – 2b + 2c$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a + b = 0\\
– 2a + b + c = 2\\
a – 2b + 2c = 3
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow a = – \frac{1}{9},b = \frac{1}{9},c = \frac{5}{3}.$
$J = $ $\int\limits_2^3 {\left[ { – \frac{1}{9}\frac{1}{{x + 2}} + \frac{1}{9}\frac{1}{{x – 1}} + \frac{5}{3}\frac{1}{{{{(x – 1)}^2}}}} \right]dx} $ $ = \left. {\left( {\frac{1}{9}\ln \left| {\frac{{x – 1}}{{x + 2}}} \right| – \frac{5}{{3(x – 1)}}} \right){\rm{ }}} \right|_2^3$ $ = \frac{1}{9}\ln \frac{8}{5} + \frac{5}{6}.$

Ví dụ 4. Tính các tích phân sau: $I = \int\limits_0^1 {x\left| {x – a} \right|dx} ,a > 0.$

Xét hai trường hợp:
$ \bullet $ $a \ge 1$ $ \Rightarrow I = \int\limits_0^1 {x(a – x)dx} $ $ = \frac{{3a – 2}}{6}.$
$ \bullet $ $0 < a < 1$ $ \Rightarrow I = \int\limits_0^a {x(a – x)dx} + \int\limits_a^1 {x(x – a)dx} $ $ = \frac{{2{a^3} – 3a + 2}}{6}.$