Phương pháp viết phương trình mặt phẳng

Bài viết phân dạng và hướng dẫn phương pháp viết phương trình mặt phẳng trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$.

Dạng toán 1: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ khi biết pháp tuyến $\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)$ và toạ độ điểm $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ thuộc mặt phẳng.

Phương pháp: Phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là: $A\left( {x – {x_0}} \right) + B\left( {y – {y_0}} \right)$ $ + C\left( {z – {z_0}} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow Ax + By + Cz$ $ – A{x_0} – B{y_0} – C{z_0} = 0.$

Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $M\left( {1;2;3} \right)$ và có pháp tuyến là $\overrightarrow n \left( {3;2;4} \right).$

Phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là: $3\left( {x – 1} \right) + 2\left( {y – 2} \right)$ $ + 4\left( {z – 3} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow 3x + 2y + 4z – 19 = 0.$

Dạng toán 2: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua $3$ điểm $A,B,C$ cho trước không thẳng hàng.

Phương pháp:
+ Vector pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là ${\overrightarrow n _\alpha } = \left[ {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right].$
+ $A \in \left( \alpha \right).$
Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right).$

Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua $3$ điểm $A\left( {2; – 1;3} \right)$, $B\left( {4;0;1} \right)$, $C\left( { – 10;5;3} \right).$

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {2;1; – 2} \right)$, $\overrightarrow {AC} = \left( { – 12;6;0} \right).$
$⇒ \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right]$ $ = \left( {12;24;24} \right)$ $ = 12\left( {1;2;2} \right)$, do đó chọn $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1;2;2} \right)$ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right).$
Với $A\left( {2; – 1;3} \right) \in \left( \alpha \right).$ Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là: $1\left( {x – 2} \right) + 2\left( {y + 1} \right)$ $ + 2\left( {z – 3} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow x + 2y + 2z – 6 = 0.$

Dạng toán 3: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua một điểm và một số yếu tố khác.

• Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $M$ và vuông góc với đường thẳng $d.$

Phương pháp: Vector chỉ phương của đường thẳng $d$ (ký hiệu $\overrightarrow {{a_d}} $) cũng là vector pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ (ký hiệu $\overrightarrow {{n_\alpha }} $).

Ví dụ 3: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ trong các trường hợp sau:
a. $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $M\left( {1;2;3} \right)$ và vuông góc với $d$: $\left\{ \begin{array}{l}
x = 2t\\
y = – 3 + t\\
z = 2 – t
\end{array} \right.$ ($t$ là tham số).
b. $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $N\left( {2; – 1;3} \right)$ và vuông góc với $d$: $\frac{{x + 1}}{{ – 2}} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{z}{1}.$
c. $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $P\left( {0;1;2} \right)$ và vuông góc với trục $Ox.$

a. Vì $\left( \alpha \right) ⊥ d$ $ \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \overrightarrow {{a_d}} = \left( {2;1; – 1} \right)$ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right).$
$M\left( {1;2;3} \right) \in \left( \alpha \right).$
Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là: $2\left( {x – 1} \right) + 1\left( {y – 2} \right)$ $ – 1\left( {z – 3} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow 2x + y – z – 1 = 0.$
b. Vì $\left( \alpha \right) ⊥ d$ $ \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \overrightarrow {{a_d}} = \left( { – 2;3;1} \right)$ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right).$
$N\left( {2; – 1;3} \right) \in \left( \alpha \right).$
Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là: $ – 2\left( {x – 2} \right) + 3\left( {y + 1} \right)$ $ + 1\left( {z – 3} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow – 2x + 3y + z + 4 = 0.$
c. Do $\left( \alpha \right) ⊥ Ox$ $ \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1;0;0} \right)$ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right).$
$P\left( {0;1;2} \right) \in \left( \alpha \right).$
Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là: $1\left( {x – 0} \right) + 0\left( {y – 1} \right)$ $ + 0\left( {z – 2} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow x = 0.$

• Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $M$ và song song với mặt phẳng $(P).$

Phương pháp: Vector pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ cũng là vector pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.

Ví dụ 4: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua $M\left( {2; – 1;3} \right)$ và song song với mặt phẳng $\left( P \right):{\rm{ }}x + 2y – 3z + 1 = 0.$

Vì $\left( \alpha \right){\rm{//}}\left( P \right)$ $ \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;2; – 3} \right)$ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right).$
$M\left( {2; – 1;3} \right) \in \left( \alpha \right).$
Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là: $1\left( {x – 2} \right) + 2\left( {y + 1} \right)$ $ – 3\left( {z – 3} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow x + 2y – 3z + 9 = 0.$

• Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $M$ song song với đường thẳng $d$ và vuông góc với mặt phẳng $(P).$

Phương pháp: Vector pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là: $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} .\overrightarrow {{n_P}} } \right]$, trong đó: $\overrightarrow {{a_d}} $ là vector chỉ phương của đường thẳng $d$, $\overrightarrow {{n_P}} $ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$.

Ví dụ 5: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $M\left( {2;3; – 1} \right)$, song song với đường thẳng $d$: $\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 – 3t\\
y = 2t\\
z = 3 – t
\end{array} \right.$ ($t$ là tham số) và vuông góc với mặt phẳng $(P)$: $x + y – z + 1 = 0.$

Ta có: $\overrightarrow {{a_d}} = \left( { – 3;2; – 1} \right)$, $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;1; – 1} \right).$
Vì $\left\{ \begin{array}{l}
\left( \alpha \right){\rm{//}}d\\
\left( \alpha \right) \bot \left( P \right)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} .\overrightarrow {{n_P}} } \right]$ $ = \left( { – 1; – 4; – 5} \right)$
$M\left( {2;3; – 1} \right) \in \left( \alpha \right).$
Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là: $ – 1\left( {x – 2} \right) – 4\left( {y – 3} \right)$ $ – 5\left( {z + 1} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow x + 4y + 5z – 9 = 0.$

• Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $M$ và vuông góc với hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q).$

Phương pháp: Vector pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là: $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{n_p}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right]$, trong đó $\overrightarrow {{n_P}} $, $\overrightarrow {{n_Q}} $ lần lượt là vetor pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$, $(Q)$.

Ví dụ 6: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $M\left( {3; – 1; – 5} \right)$ đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng $\left( P \right):3x – 2y + 2{\rm{ }}z + 7 = 0$, $\left( Q \right):5x – 4y + 3z + 1 = 0.$

Ta có: $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {3; – 2;2} \right)$, $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {5; – 4;3} \right).$
Vì $\left\{ \begin{array}{l}
\left( \alpha \right) \bot \left( P \right)\\
\left( \alpha \right) \bot \left( Q \right)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{n_p}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right]$ $ = \left( {2;1; – 2} \right)$ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $(α).$
$M\left( {3; – 1; – 5} \right) \in \left( \alpha \right).$
Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là: $2\left( {x – 3} \right) + 1\left( {y + 1} \right)$ $ – 2\left( {z + 5} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow 2x + y – 2z – 15 = 0.$

• Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $M$ và song song với $d$ và $d’$.

Phương pháp: Vector pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là: $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} .\overrightarrow {{a_{d’}}} } \right]$, trong đó $\overrightarrow {{a_d}} ,\overrightarrow {{a_{d’}}} $ lần lượt là vector chỉ phương của $d$, $d’$.

Ví dụ 7: Trong không gian hệ toạ độ $Oxyz$ cho hai đường thẳng $d$: $\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + 2t\\
y = – 3t\\
z = 4 + t
\end{array} \right.$ ($t$ là tham số) và $d’$: $\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z – 3}}{{ – 1}}.$ Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua $M\left( {1;2;3} \right)$ đồng thời song song với $d$ và $d’.$

Ta có: $\overrightarrow {{a_d}} = \left( {2; – 3;1} \right)$, $\overrightarrow {{a_{d’}}} = \left( {1;2; – 1} \right).$
Vì $\left\{ \begin{array}{l}
\left( \alpha \right){\rm{//}}d\\
\left( \alpha \right){\rm{//}}d’
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} .\overrightarrow {{a_{d’}}} } \right]$ $ = \left( {1;3;7} \right)$ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $(α).$
$M\left( {1;2;3} \right) \in \left( \alpha \right).$
Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là: $1\left( {x – 1} \right) + 3\left( {y – 2} \right)$ $ + 7\left( {z – 3} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow x + 3y + 7z – 28 = 0.$

• Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $M$ và chứa $d$ $\left( {M otin d} \right).$

Phương pháp:
+ Lấy $N \in d.$
+ Vector pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là: $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} .\overrightarrow {MN} } \right]$, với $\overrightarrow {{a_d}}$ là vector chỉ phương của đường thẳng $d.$

Ví dụ 8: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $M(1;2;3)$ và chứa đường thẳng $d$: $\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z – 3}}{{ – 1}}.$

Chọn $N\left( {2; – 1;3} \right) \in d.$
Ta có: $\overrightarrow {MN} = \left( {1;3;0} \right)$, $\overrightarrow {{a_d}} = \left( {1;2; – 1} \right).$
Vì $\left\{ \begin{array}{l}
M \in \left( \alpha \right)\\
d \subset \left( \alpha \right)
\end{array} \right.$ nên vector pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là: $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} .\overrightarrow {MN} } \right]$ $ = \left( { – 3;1; – 1} \right).$
Phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$: $ – 3\left( {x – 1} \right) + 1\left( {y – 2} \right)$ $ – 1\left( {z – 3} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow – 3x + y – z + 4 = 0.$

Dạng toán 4: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua hai điểm và các yếu tố khác.

• Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua $M,N$ và song song với đường thẳng $d.$

Phương pháp: Vector pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là: $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{a_d}} } \right]$, với $\overrightarrow {{a_d}} $ là vector chỉ phương của đường thẳng $d.$

Ví dụ 9: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua $M\left( {2;1;3} \right)$, $N\left( {1, – 2,1} \right)$ và song song với đường thẳng $d$: $\left\{ \begin{array}{l}
x = – 1 + t\\
y = 2t\\
z = – 3 – 2t
\end{array} \right.$ ($t$ là tham số).
Ta có: $\overrightarrow {MN} = \left( { – 1; – 3; – 2} \right)$, $\overrightarrow {{a_d}} = \left( {1;2; – 2} \right).$
Vì $\left\{ \begin{array}{l}
M,N \in \left( \alpha \right)\\
d{\rm{//}}\left( \alpha \right)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{a_d}} } \right]$ $ = \left( {10; – 4;1} \right)$ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right).$
$M\left( {2;1;3} \right) \in \left( \alpha \right).$
Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là: $10\left( {x – 2} \right) – 4\left( {y – 1} \right)$ $ + 1\left( {z – 3} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow 10x – 4y + z – 19 = 0.$

• Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua hai điểm $M,N$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ ($MN$ không vuông góc với $(P)$).

Phương pháp: Vector pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là: $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{n_P}} } \right]$, với $\overrightarrow {{n_P}} $ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $(P).$

Ví dụ 10: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua $M(0;1;2)$, $N(2;0;1)$ và vuông góc với $(P)$: $2x + 3y – z + 1 = 0 $.

Ta có: $\overrightarrow {MN} = \left( {2; – 1; – 1} \right)$; $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;3; – 1} \right).$
Vì $\left\{ \begin{array}{l}
M,N \in \left( \alpha \right)\\
\left( \alpha \right) \bot \left( P \right)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{n_P}} } \right]$ $ = \left( {4;0;8} \right)$ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $(α).$
$M\left( {0;1;2} \right) \in \left( \alpha \right).$
Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là: $4\left( {x – 0} \right) + 0\left( {y – 1} \right)$ $ + 8\left( {z – 2} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow 4x + 8z – 16 = 0$ $ \Leftrightarrow x + 2z – 4 = 0.$

Dạng toán 5: Mặt phẳng chứa một đường thẳng và các yếu tố khác.

• Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa $d$ và song song với $d’.$

Ví dụ 11: Trong không gian hệ toạ độ $Oxyz$ cho hai đường thẳng: $d:$ $\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + 2t\\
y = – 3t\\
z = 4 + t
\end{array} \right.$ ($t$ là tham số) và $d’:$ $\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z – 3}}{{ – 1}}.$ Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa $d$ và song song với $d’.$

Ta có: $\overrightarrow {{a_d}} = \left( {2; – 3;1} \right)$, $\overrightarrow {{a_{d’}}} = \left( {1;2; – 1} \right).$
Vì $\left\{ \begin{array}{l}
d \subset \left( \alpha \right)\\
\left( \alpha \right){\rm{//}}d’
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} .\overrightarrow {{a_{d’}}} } \right]$ $ = \left( {1;3;7} \right)$ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right).$
Chọn $M\left( {1;0;4} \right) \in d$ $ \Rightarrow M \in \left( \alpha \right).$
Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là: $1\left( {x – 1} \right) + 3\left( {y – 0} \right)$ $ + 7\left( {z – 4} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow x + 3y + 7z – 29 = 0.$

• Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa đường thẳng $d$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ ($d$ không vuông góc với $(P)$).

Ví dụ 12: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa $d:$ $\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y – 1}}{3} = \frac{{z + 1}}{1}$ và vuông góc với $(P):$ $-x + y + 2z – 1 = 0.$

Ta có: $\overrightarrow {{a_d}} = \left( {2;3;1} \right)$, $\overrightarrow {{n_P}} = \left( { – 1;1;2} \right).$
Vì $\left\{ \begin{array}{l}
d \subset \left( \alpha \right)\\
\left( \alpha \right) \bot \left( P \right)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} .\overrightarrow {{n_P}} } \right]$ $ = \left( {5; – 5;5} \right)$ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $(α).$
Chọn $M\left( { – 1;1; – 1} \right) \in d$ $ \Rightarrow M \in \left( \alpha \right).$
Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là: $5(x+1) – 5(y-1)$ $ + 5 (z+1) = 0$ $ \Leftrightarrow x – y + z + 3 = 0.$

Dạng toán 6: Viết phương trình mặt phẳng trung trực $\left( \alpha \right)$ của đoạn thẳng $MN.$

Phương pháp:
+ Vector pháp tuyến của mặt phẳng $(α)$ là: $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \overrightarrow {MN} .$
+ $\left( \alpha \right)$ đi qua trung điểm của $MN.$

Ví dụ 13: Viết phương trình mặt phẳng trung trực $\left( \alpha \right)$ của đoạn thẳng $MN$, biết $M(1;3;2)$, $N(-1;1;0).$

Gọi $I$ là trung điểm của $MN$, khi đó $I(0;2;1)$ và $I \in \left( \alpha \right).$
Vector pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là: $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \overrightarrow {MN} = \left( { – 2; – 2; – 2} \right).$
Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$: $-2 (x-0) – 2(y-2) $ $-2(z-1) = 0$ $ \Leftrightarrow x + y + z – 3 = 0.$

Dạng toán 7: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ song song với mặt phẳng $(P)$ và tiếp xúc với mặt cầu $S(I ;R).$

Phương pháp:
+ Từ $\left( \alpha \right){\rm{//}}\left( P \right)$, suy ra phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có dạng: $Ax + By +Cz +D = 0$, trong đó hệ số $D$ chưa biết.
+ Từ giả thiết $\left( \alpha \right)$ tiếp xúc với mặt cầu $S(I ;R)$ $ \Rightarrow d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = R$, từ đó tìm được hệ số $D.$

Ví dụ 14: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ song song với mặt phẳng $(P):$ $x – 2y + 2z +1 =0$ và tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ có phương trình: ${\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2}$ $ + {\left( {z – {\rm{ }}2} \right)^2} = 4.$
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(-2;1;2)$, bán kính $R = 2.$
Vì $\left( \alpha \right){\rm{//}}\left( P \right)$ nên phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có dạng: $x – 2y +2z + D = 0.$
$\left( \alpha \right)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ $ \Rightarrow d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = R$ $⇔ \frac{{\left| { – 2 – 2 + 4 + D} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( – 2)}^2} + {2^2}} }} = 2$ $ ⇔ \left| D \right| = 6$ $ ⇔D = 6$ hoặc $D = -6.$
Vậy có hai mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán: $x – 2y + 2z + 6 = 0 $ và $x – 2y + 2z – 6 = 0.$

Dạng toán 8: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ vuông góc với đường thẳng $d$ và tiếp xúc với mặt cầu $S(I ;R).$

Phương pháp:
+ Vector chỉ phương của đường thẳng $d$ cũng là vector pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$, suy ra phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có dạng: $Ax + By + Cz + D = 0$, trong đó hệ số $D$ chưa biết.
+ Từ giả thiết $\left( \alpha \right)$ tiếp xúc với mặt cầu $S(I ;R)$ $ \Rightarrow d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = R$, từ đó tìm được hệ số $D.$

Ví dụ 15: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S):$ ${x^2} + {\rm{ }}{y^2} + {\rm{ }}{z^2}$ $ – 2x + 2y + 4z – 3 = 0$ và vuông góc với đường thẳng $d:$ $\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{z}{{ – 2}}.$

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1 ;-1 ;-2)$, bán kính $R = 3.$
Vì $\left( \alpha \right) \bot d$ $ \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \overrightarrow {{a_d}} = \left( {1;2; – 2} \right)$ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $(α).$
Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có dạng: $x + 2y – 2z +D = 0.$
Vì $\left( \alpha \right)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ $ \Rightarrow d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = R$ $ \Leftrightarrow \frac{{\left| {1 – 2 + 4 + D} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( – 2)}^2}} }} = 3$ $ \Leftrightarrow D = 6$ hoặc $D = -12.$
Vậy có hai mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ thỏa mãn điều kiện bài toán là: $x + 2y – 2z + 6 = 0$ và $x + 2y – 2z – 12 = 0.$

Dạng toán 9: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ song song với đường thẳng $d$, vuông góc với mặt phẳng $(P)$ và tiếp xúc với mặt cầu $S(I ;R).$ ($d$ không vuông góc với $(P)$).

Phương pháp:
+ Vector pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là: $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} .\overrightarrow {{n_P}} } \right]$, trong đó $\overrightarrow {{a_d}} $ là vector chỉ phương của đường thẳng $d$, $\overrightarrow {{n_P}} $ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $(P).$
+ Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có dạng $Ax + By + Cz + D = 0$, trong đó hệ số $D$ chưa biết.
+ Từ giả thiết $\left( \alpha \right)$ tiếp xúc với mặt cầu $S(I;R)$ $ \Rightarrow d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = R$, từ đó tìm được hệ số $D.$

Ví dụ 16: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ song song với đường thẳng $d:$ $\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{z}{{ – 1}}$, vuông góc với mặt phẳng $(P):$ $2x +y + z – 1 = 0$ và tiếp xúc với mặt cầu $(S):$ ${\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2}$ $ + {\rm{ }}{z^2} = 9.$

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(2; -1; 0)$, bán kính $R = 3.$
Ta có: $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;1;1} \right)$, $\overrightarrow {{a_d}} = \left( {1;3; – 1} \right).$
Vì $\left\{ \begin{array}{l}
\left( \alpha \right){\rm{//}}d\\
\left( \alpha \right) \bot \left( P \right)
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} .\overrightarrow {{n_P}} } \right]$ $ = ( – {\rm{ }}4;3;5)$ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right).$
Do đó phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có dạng: $-4x + 3y + 5z + D = 0.$
Vì $\left( \alpha \right)$ tiếp xúc với mặt cầu $S(I;R)$ $ \Rightarrow d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = R$ $ \Leftrightarrow \frac{{\left| { – 8 – 3 + D} \right|}}{{\sqrt {{{( – 4)}^2} + {3^2} + {5^2}} }} = 3$ $ \Leftrightarrow D = 11 + 15\sqrt 2 $ hoặc $D = 11 – 15\sqrt 2 .$
Vậy có hai mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $ – {\rm{ }}4x + 3y + 5z + 11 + 15\sqrt 2 = 0$ và $ – {\rm{ }}4x + 3y + 5z + 11 – 15\sqrt 2 = 0.$

Dạng toán 10: Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ song song với hai đường thẳng $d$ và $d’$ đồng thời tiếp xúc với mặt cầu $S(I ;R).$

Phương pháp:
+ Vector pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là: $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} .\overrightarrow {{a_{d’}}} } \right]$, trong đó $\overrightarrow {{a_d}} ,\overrightarrow {{a_{d’}}} $ lần lượt là vector chỉ phương của đường thẳng $d$, $d’.$
+ Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có dạng: $Ax + By + Cz + D = 0$, trong đó hệ số $D$ chưa biết.
+ Từ giả thiết mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ tiếp xúc với mặt cầu $S(I;R)$ $ \Rightarrow d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = R$, từ đó tìm được hệ số $D.$

Ví dụ 17: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ cho mặt cầu $(S):$ ${x^2} + {y^2} + {z^2}$ $ – 2x + 2y + 4z – 3 = 0$ và hai đường thẳng $d:$ $\left\{ \begin{array}{l}
x + 2y – 2 = 0\\
x – 2z = 0
\end{array} \right.$ và $d’:$ $\frac{{x – 1}}{{ – 1}} = \frac{y}{1} = \frac{z}{{ – 1}}.$ Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là tiếp diện của $(S)$ đồng thời song song với $d$ và $d’.$

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;-1;-2)$, bán kính $R = 3.$
Đường thẳng $d$ là giao của hai mặt phẳng $(P):$ $x + 2y -2 =0$ và $(Q):$ $x – 2z= 0$, suy ra vector chỉ phương của $d$ là: $\overrightarrow {{a_d}} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( { – 4;2; – 2} \right).$
Vector chỉ phương của $d’$ là $\overrightarrow {{a_{d’}}} = \left( { – 1;1; – 1} \right).$
Vì $\left\{ \begin{array}{l}
\left( \alpha \right){\rm{//}}d\\
\left( \alpha \right){\rm{//}}d’
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} .\overrightarrow {{a_{d’}}} } \right]$ $ = \left( {0; – 2; – 2} \right)$ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right).$
Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có dạng $- 2y – 2z + D = 0.$
Vì $\left( \alpha \right)$ là tiếp diện của $(S)$ $ \Rightarrow d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = R$ $ \Leftrightarrow \frac{{\left| {2 + 4 + D} \right|}}{{\sqrt 8 }} = 3$ $ \Leftrightarrow D = – 6 + 6\sqrt 2 $ hoặc $D = – 6 – 6\sqrt 2 .$
Vậy có hai tiếp diện thỏa mãn bài toán là: $y + {\rm{ }}z + 3 – 3\sqrt 2 = 0$ và $y + {\rm{ }}z + 3 + 3\sqrt 2 = 0.$