Nhận dạng bảng biến thiên và đồ thị các hàm số

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải bài tập nhận dạng bảng biến thiên và đồ thị các hàm số thường gặp: hàm số bậc ba, hàm số trùng phương, hàm số phân thức hữu tỉ.

I. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Cho hàm số $f(x) = a{x^4} + b{x^2} + c$ có bảng biến thiên như hình vẽ sau:

Xác định công thức của hàm số.

Ta có $f'(x) = 4a{x^3} + 2bx.$
Dựa vào bảng biến thiên ta có $a > 0$, $b \le 0.$
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm $A(0;3)$ nên $c = 3.$
Đồ thị hàm số có điểm cực trị $B(1;1)$ nên:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{f(1) = 1}\\
{f'(1) = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a + b + 3 = 1}\\
{4a + 2b = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = 2}\\
{b = – 4}
\end{array}} \right..$
Vậy hàm số cần tìm là $y = 2{x^4} – 4{x^2} + 3.$

Ví dụ 2. Cho hàm số $f(x) = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}$ có bảng biến thiên như hình vẽ sau:

Biết đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm $A(0;-2).$ Xác định công thức của hàm số.

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng $x = 1$ nên $ – \frac{d}{c} = 1$ hay $c = – d.$
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y = 2$ nên $\frac{a}{c} = 2$ hay $a = 2c.$ Suy ra $a = -2d.$
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm $A(0; – 2)$ nên $\frac{b}{d} = – 2$ hay $b = – 2d.$
Khi đó $y = \frac{{ – 2dx – 2d}}{{ – dx + d}}$ $ = \frac{{2x + 2}}{{x – 1}}.$
Vậy hàm số cần tìm là $y = \frac{{2x + 2}}{{x – 1}}.$

Ví dụ 3. Cho hàm số $f(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ có bảng biến thiên như hình vẽ:

Xác định công thức của hàm số.

Ta có $f'(x) = 3a{x^2} + 2bx + c.$
Đồ thị hàm số đạt cực trị tại điểm $A(0;1)$ và $B(-2;-3)$ nên ta có:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{f'(0) = 0}\\
{f(0) = 1}\\
{f'( – 2) = 0}\\
{f( – 2) = – 3}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{c = 0}\\
{d = 1}\\
{12a – 4b = 0}\\
{ – 8a + 4b + 1 = – 3}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = – 1}\\
{b = – 3}\\
{c = 0}\\
{d = 1}
\end{array}} \right..$
Vậy hàm số cần tìm là: $f(x) = – {x^3} – 3{x^2} + 1.$

Ví dụ 4. Cho hàm số $f(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ đồ thị như hình vẽ bên.

Hãy xác định công thức hàm số.

Ta có $f'(x) = 3a{x^2} + 2bx + c.$
Đồ thị hàm số đạt cực trị tại hai điểm $A(0;-4)$ và $B(2;0)$ nên ta có:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{f'(0) = 0}\\
{f'(2) = 0}\\
{f(0) = – 4}\\
{f(2) = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{c = 0}\\
{12a + 4b + c = 0}\\
{d = – 4}\\
{8a + 4b + 2c + d = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{c = 0}\\
{d = – 4}\\
{3a + b = 0}\\
{2a + b = 1}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{c = 0}\\
{d = – 4}\\
{a = – 1}\\
{b = 3}
\end{array}} \right..$
Vậy hàm số cần tìm là $y = – {x^3} + 3{x^2} – 4.$

Ví dụ 5. Cho hàm số $f(x) = a{x^4} + b{x^2} + c$ có đồ thị như hình vẽ bên.

Hãy xác định công thức hàm số.

Ta có $f'(x) = 4a{x^3} + 2bx.$
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm $A(0;-1)$ nên $c = -1.$
Đồ thị hàm số đạt cực trị tại điểm $B(1;-2)$ nên ta có:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{f'(1) = 0}\\
{f(1) = – 2}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{4a + 2b = 0}\\
{a + b – 1 = – 2}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = 1}\\
{b = – 2}
\end{array}} \right..$
Vậy hàm số cần tìm là: $y = {x^4} – 2{x^2} – 1.$

Ví dụ 6. Cho ba hàm số $y = f(x)$, $y = f'(x)$, $y = f”(x)$ có đồ thị là một trong ba đường cong trong hình vẽ.

Hãy xác định công thức của các hàm số tương ứng với đồ thị đã cho trong các đường cong $\left( {{C_1}} \right)$, $\left( {{C_2}} \right)$, $\left( {{C_3}} \right).$

Từ đồ thị của ba hàm số có trong hình vẽ, ta thấy:
+ Hoành độ điểm cực trị của đồ thị hàm số $\left( {{C_2}} \right)$ là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $\left( {{C_3}} \right)$ với trục $Ox.$
+ Trên mỗi khoảng mà hàm số $\left( {{C_2}} \right)$ đồng biến (hoặc nghịch biến) tương ứng với phần đồ thị hàm số $\left( {{C_3}} \right)$ nằm bên trên trục hoành (hoặc dưới trục hoành).
Do đó ta suy ra hàm số có đồ thị $\left( {{C_3}} \right)$ là đạo hàm của hàm số có công thức $\left( {{C_2}} \right).$
Tương tự như vậy ta cũng có khẳng định hàm số có đồ thị $\left( {{C_1}} \right)$ là đạo hàm của hàm số có công thức $\left( {{C_3}} \right).$
Do đó $\left( {{C_2}} \right)$ là đồ thị hàm số $y = f(x)$, $\left( {{C_3}} \right)$ là đồ thị hàm số $y = f'(x)$, $\left( {{C_1}} \right)$ là đồ thị hàm số $y = f”(x).$

II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Bài 1. Bảng biến thiên trong hình vẽ là của hàm số nào?

A. $y = \frac{{x – 4}}{{2x + 2}}.$
B. $y = \frac{{ – 2x – 4}}{{x + 1}}.$
C. $y = \frac{{ – 2x + 3}}{{x + 1}}.$
D. $y = \frac{{2 – x}}{{x + 1}}.$

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = -1$ và tiệm cận ngang $y = -2$ (loại A và D).
Mặt khác, hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng xác định của nó.
Xét hàm số $y = \frac{{ – 2x – 4}}{{x + 1}}.$ Ta có $y’ = \frac{2}{{{{(x + 1)}^2}}} > 0.$ Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định của nó (loại B).
Xét hàm số $y = \frac{{ – 2x + 3}}{{x + 1}}$ có $y’ = \frac{{ – 5}}{{{{(x + 1)}^2}}} < 0.$
Hàm số này nghịch biến trên các khoảng xác định của nó.
Chọn đáp án C.

Bài 2. Bảng biến thiên sau là bảng biến thiên của hàm số nào sau đây ?

A. $y = {x^3} – 3{x^2} – 1.$
B. $y = – {x^3} + 3{x^2} – 2.$
C. $y = – {x^3} + 3{x^2} – 1.$
D. $y = – {x^3} – 3x – 2.$

Bảng biến thiên của hàm số bậc ba có hệ số $a < 0$ và đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm $A(0;-2)$ (loại A và C).
Hàm số có hai điểm cực trị nên ${b^2} – 3ac > 0$ (loại D).
Chọn đáp án B.

Bài 3. Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào?

A. ${y = \frac{{x + 1}}{{2x – 1}}.}$
B. ${y = \frac{{2x – 1}}{{x + 1}}.}$
C. ${y = \frac{{2x + 3}}{{x + 1}}.}$
D. ${y = \frac{{2x – 1}}{{x – 1}}.}$

Dựa vào bảng biến thiên, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = -1$, tiệm cận ngang $y = 2$ (loại $A$ và $D$).
Xét hàm số $y = \frac{{2x + 3}}{{x + 1}}$ $ \Rightarrow y’ = \frac{{ – 1}}{{{{(x + 1)}^2}}} < 0.$ Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định (loại C).
Xét hàm số $y = \frac{{2x – 1}}{{x + 1}}$ $ \Rightarrow y’ = \frac{3}{{{{(x + 1)}^2}}} > 0.$ Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định.
Chọn đáp án B.

Bài 4. Bảng biến thiên dưới đây là của hàm số nào?

A. ${y = 4{x^4} – 3{x^2} – 6.}$
B. ${y = 2{x^4} – 4{x^2} – 5.}$
C. ${y = – {x^4} + 2{x^2} – 5.}$
D. ${y = {x^4} – 2{x^2} – 5.}$

Dựa vào bảng biến thiên, đồ thị hàm số trùng phương có hệ số $a > 0$ (loại C).
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm $A(0;-5)$ (loại A).
Đồ thị hàm số đi qua điểm $B(1;-6)$ (loại B).
Chọn đáp án D.

Bài 5. Cho hàm số có bảng biến thiên dưới đây. Hãy xác định công thức hàm số.

A. $y = \frac{1}{3}{x^3} – 2{x^2} + 3x + 5.$
B. $y = \frac{1}{3}{x^3} – 2{x^2} + 3x – 5.$
C. $y = – {x^3} + 2{x^2} – x – 5.$
D. $y = – \frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} – 3x + 5.$

Dựa vào bảng biến thiên, đồ thị hàm số bậc ba có hệ số $a > 0$ (loại C và D).
Đồ thị cắt trục tung tại điểm $A(0;-5)$ (loại A).
Chọn đáp án B.

Bài 6. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Hỏi hàm số đó là hàm số nào trong các hàm số dưới đây?

A. $y = \frac{{2(x + 1)}}{{x – 1}}.$
B. $y = \frac{{2(x – 1)}}{{x + 1}}.$
C. $y = \frac{{2x – 5}}{{x – 1}}.$
D. $y = \frac{{x – 1}}{{2x + 1}}.$

Dựa vào hình vẽ, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = 1$ và tiệm cận ngang $y = 2$ (loại B và D).
Đồ thị hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.
Xét hàm số $y = \frac{{2(x + 1)}}{{x – 1}}$ $ \Rightarrow y’ = \frac{{ – 4}}{{{{(x – 1)}^2}}} < 0$, $\forall x e 1.$
Xét hàm số $y = \frac{{2x – 5}}{{x – 1}}$ $ \Rightarrow y’ = \frac{3}{{{{(x – 1)}^2}}} > 0$, $\forall x e 1$ (loại C).
Chọn đáp án A.

Bài 7. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Hỏi hàm số đó là hàm số nào trong các hàm số dưới đây?

A. $y = {x^4} + 2{x^2} – 3.$
B. $y = {x^4} – 2{x^2} – 3.$
C. $y = – 2{x^4} + 4{x^2} – 3.$
D. $y = – {x^4} + 2{x^2} – 3.$

Đồ thị hàm số trùng phương có hệ số $a > 0$ (loại C và D).
Từ đồ thị hàm số ta thấy hàm số có ba cực trị nên $ab < 0$ (loại A).
Chọn đáp án B.

Bài 8. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Hỏi hàm số đó là hàm số nào trong các hàm số dưới đây?

A. $y = – {x^3} + 3x + 4.$
B. $y = 2{x^3} – 6x + 4.$
C. $y = – {x^3} + 3{x^2} + 4.$
D. $y = {x^3} – 3x + 4.$

Đồ thị của hàm số bậc ba có $a > 0$ (loại A và C).
Đồ thị đi qua điểm $A(1;2)$ (loại B).
Chọn đáp án D.

Bài 9. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Hỏi hàm số đó là hàm số nào trong các hàm số dưới đây?

A. $y = {(x – 1)^2}(3 – x).$
B. $y = {(x – 1)^2}(x – 3).$
C. $y = \left( {9 – {x^2}} \right)(x – 1).$
D. $y = \left( {{x^2} – 1} \right)(x + 3).$

Đồ thị hàm số bậc ba có hệ số $a < 0$ (loại B và D).
$x = 1$ là nghiệm kép của phương trình $y = 0$ (loại C).
Chọn đáp án A.

Bài 10. Cho ba hàm số $y = f(x)$, $y = f'(x)$, $y = f”(x)$ có đồ thị là một trong ba đường cong trong hình vẽ. Hãy xác định đồ thị tương ứng với các hàm số $y = f(x)$, $y = f'(x)$, $y = f”(x).$
A. $\left( {{C_1}} \right)$, $\left( {{C_2}} \right)$, $\left( {{C_3}} \right).$
B. $\left( {{C_2}} \right)$, $\left( {{C_1}} \right)$, $\left( {{C_3}} \right).$
C. $\left( {{C_3}} \right)$, $\left( {{C_2}} \right)$, $\left( {{C_1}} \right).$
D. $\left( {{C_2}} \right)$, $\left( {{C_3}} \right)$, $\left( {{C_1}} \right).$

Từ đồ thị của ba hàm số có trong hình vẽ, ta thấy:
+ Hoành độ điểm cực trị của đồ thị hàm số  $\left( {{C_1}} \right)$ là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $\left( {{C_2}} \right)$ với trục $Ox.$
+ Trên mỗi khoảng mà hàm số $\left( {{C_1}} \right)$ đồng biến (hoặc nghịch biến) tương ứng với phần đồ thị hàm số $\left( {{C_2}} \right)$ nằm bên trên trục hoành (hoặc dưới trục hoành).
Do đó ta suy ra hàm số có đồ thị $\left( {{C_2}} \right)$ là đạo hàm của hàm số có đồ thị $\left( {{C_1}} \right).$
Tương tự, ta có hàm số có đồ thị $\left( {{C_3}} \right)$ là đạo hàm của hàm số có đồ thị $\left( {{C_2}} \right).$
Do đó $\left( {{C_1}} \right)$ là đồ thị hàm số $y = f(x)$, $\left( {{C_2}} \right)$ là đồ thị hàm số $y = f'(x)$, $\left( {{C_3}} \right)$ là đồ thị hàm số $y = f”(x).$
Chọn đáp án A.

**III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
**Bài 1. Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

A. $y = 2{x^3} + 6{x^2} – 2.$
B. $y = {x^3} + 3{x^2} – 2.$
C. $y = – {x^3} – 3{x^2} – 2.$
D. $y = {x^3} – 3{x^2} – 2.$

Bài 2. Đường cong ở hình vẽ bên là đồ thị của một hàm số. Hỏi hàm số đó là hàm số nào trong các hàm số sau đây?

A. $y = – {x^3} – 4.$
B. $y = {x^3} – 3{x^2} – 4.$
C. $y = – {x^3} + 3x – 2.$
D. $y = – {x^3} + 3{x^2} – 4.$

Bài 3. Đường cong ở hình vẽ bên là đồ thị của một hàm số. Hỏi hàm số đó là hàm số nào trong các hàm số sau đây?

A. $y = – \frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} – 3x – 2.$
B. $y = {x^3} – 6{x^2} + 9x – 2.$
C. $y = – {x^3} + 3x – 2.$
D. $y = {x^3} + {x^2} – 2x – 2.$

Bài 4. Đường cong ở hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số đã cho được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. $y = – 2{x^3} + 9{x^2} – 12x – 4.$
B. $y = {x^3} – 3x – 4.$
C. $y = {x^4} – 3{x^2} – 4.$
D. $y = 2{x^3} – 9{x^2} + 12x – 4.$

Bài 5. Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

A. $y = – 4{x^4} + {x^2} + 4.$
B. $y = {x^4} – 2{x^2} + 3.$
C. $y = {x^4} + 3{x^2} + 2.$
D. $y = {x^3} – 2{x^2} + 1.$

Bài 6. Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số nào sau đây?

A. $y = {x^2}.$
B. $y = – {x^4} + 4{x^2}.$
C. $y = 3{x^4} – {x^2} + 1.$
D. $y = 2{x^4} + {x^2}.$

Bài 7. Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số nào?

A. $y = – {x^4} + 1.$
B. $y = – {x^4} + 2{x^2} + 1.$
C. $y = – {x^4} – 2{x^2} + 1.$
D. $y = – {x^4} + 2{x^2} – 1.$

Bài 8. Đồ thị trong hình vẽ bên là của hàm số nào?

A. $y = \frac{{ – x}}{{x + 1}}.$
B. $y = \frac{{ – x + 1}}{{x + 1}}.$
C. $y = \frac{{ – 2x + 1}}{{2x + 1}}.$
D. $y = \frac{{ – x + 2}}{{x + 1}}.$

Bài 9. Đồ thị trong hình vẽ bên là của hàm số nào?

A. $y = \frac{{x + 3}}{{1 – x}}.$
B. $y = \frac{{x – 1}}{{x + 1}}.$
C. $y = \frac{{x + 2}}{{x + 1}}.$
D. $y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}.$

Bài 10. Bảng biến thiên trong hình bên dưới của hàm số nào dưới đây?

A. $y = \frac{{x – 1}}{{2x – 1}}.$
B. $y = {x^4} – 2{x^2} – 3.$
C. $y = – {x^3} + 3x + 2.$
D. $y = {x^3} – 3x + 4.$

Bài 11. Bảng biến thiên dưới đây là của hàm số nào?

A. $y = \frac{{2x + 1}}{{x – 2}}.$
B. $y = \frac{{x – 1}}{{2x + 2}}.$
C. $y = \frac{{x + 1}}{{x – 2}}.$
D. $y = \frac{{x + 3}}{{2 + x}}.$

Bài 12. Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào?

A. $y = \frac{{3x – 8}}{{x – 2}}.$
B. $y = \frac{{3x + 8}}{{x – 2}}.$
C. $y = \frac{{2x – 9}}{{x – 3}}.$
D. $y = \frac{{2x + 1}}{{x – 3}}.$

Bài 13. Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào?

A. $y = {x^4} + 2{x^2} – 5.$
B. $y = {x^4} – 2{x^2} – 5.$
C. $y = 2{x^4} – 4{x^2} – 5.$
D. $y = – {x^4} + 2{x^2} – 5.$

Bài 14. Cho ba hàm số $y = f(x)$, $y = f'(x)$, $y = f”(x)$ có đồ thị là một trong ba đường cong trong hình vẽ. Hãy xác định đồ thị tương ứng với các hàm số $y = f(x)$, $y = f'(x)$, $y = f”(x).$

A. ${\left( {{C_1}} \right)}$, ${\left( {{C_2}} \right)}$, ${\left( {{C_3}} \right)}$.
B. ${\left( {{C_2}} \right)}$, ${\left( {{C_1}} \right)}$, ${\left( {{C_3}} \right)}$.
C. ${\left( {{C_3}} \right)}$, ${\left( {{C_2}} \right)}$, ${\left( {{C_1}} \right)}$.
D. ${\left( {{C_2}} \right)}$, ${\left( {{C_3}} \right)}$, ${\left( {{C_1}} \right)}$.

**IV. BẢNG ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
**1. B.
2. D.
3. A.
4. D.
5. B.
6. D.
7. B.
8. B.
9. D.
10. C.
11. C.
12. A.
13. B.
14. C.