Lý Thuyết Và Bài Tập Trắc Nghiệm Số Phức - Phùng Hoàng Em

Tài liệu Lý Thuyết Và Bài Tập Trắc Nghiệm Số Phức - Phùng Hoàng Em

Tài liệu gồm 30 trang tóm tắt lý thuyết số phức và tuyển chọn các bài tập trắc nghiệm số phức có đáp án. Tài liệu này hỗ trợ học sinh học tốt chương trình Giải tích 12 chương 4 và ôn tập thi THPT Quốc gia môn Toán. Tài liệu được biên soạn bởi thầy Phùng Hoàng Em.

BÀI 1. NHẬP MÔN SỐ PHỨC

Vấn đề 1. Xác định các đại lượng liên quan đến số phức.

1. Biến đổi số phức z về dạng A + Bi.
2. Khi đó:
   • Phần thực là A
   • Phần ảo là B
   • Số phức liên hợp là A + Bi = A − Bi
   • Mô-đun bằng √(A^2 +B^2).

Vấn đề 2. Số phức bằng nhau.

• a + bi = c + di ⇔ a = c và b = d.
• a + bi = 0 ⇔ a = 0 và b = 0.

Vấn đề 3. Điểm biểu diễn số phức.

Mỗi số phức z = a + bi được biểu diễn bởi duy nhất một điểm M(a,b) trên mặt phẳng tọa độ.

Vấn đề 4. Lũy thừa với đơn vị ảo.

• Các công thức biến đổi:
  • i^2 = −1
  • i^3 = −i
  • i^n = 1 nếu n chia hết cho 4
  • i^n = i nếu n chia 4 dư 1
  • i^n = −1 nếu n chia 4 dư 2
  • i^n = −i nếu n chia 4 dư 3.
• Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng: Sn = n/2(u1 + un) hoặc Sn = n/2(2u1 + (n − 1)d), với u1 là số hạng đầu, d là công sai.
• Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân: Sn = u1.(1 − q^n)/(1 − q), với u1 là số hạng đầu, q là công bội (q khác 1).

BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Vấn đề 1. Phương trình với hệ số phức.

Trong chương trình, ta chỉ xét phương trình dạng này với ẩn z bậc nhất.

• Ta giải tương tự như giải phương trình bậc nhất trên tập số thực.
• Thực hiện các biến đổi đưa về dạng z = A + Bi.

Vấn đề 2. Phương trình bậc hai với hệ số thực và một số phương trình quy về bậc hai.

Xét phương trình ax^2 + bx + c = 0, với a, b, c ∈ R và a khác 0. Đặt ∆ = b^2 − 4ac, khi đó:

1. Nếu ∆ ≥ 0 thì phương trình có nghiệm x = (−b ±√∆)/2a.
2. Nếu ∆ < 0 thì phương trình có nghiệm x = (−b ± i√|∆|)/2a.
3. Định lý Viet: x1 + x2 = −b/a và x1.x2 = c/a.

Vấn đề 3. Xác định số phức bằng cách giải hệ phương trình.

Gọi z = a + bi, với a, b ∈ R.

• Nếu đề bài cho dạng hai số phức bằng nhau, ta áp dụng một trong hai công thức sau:
  • a + bi = c + di ⇔ a = c hay b = d
  • a + bi = 0 ⇔ a = 0 hay b = 0.
• Nếu đề bài cho phương trình ẩn z và kèm theo một trong các ẩn z, |z| … Ta thay z = a + bi vào điều kiện đề cho, đưa về “hai số phức bằng nhau”.
• Nếu đề cho z thỏa hai điều kiện riêng biệt thì từ 2 điều kiện đó, ta tìm được hệ phương trình liên quan đến a, b. Giải tìm a, b.

BÀI 3. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC

Vấn đề. Biểu diễn hình học của số phức.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, giả sử:

• M(x;y) là điểm biểu diễn của z = x + yi (x, y ∈ R)
• N(x’;y’) là điểm biểu diễn của z’ = x’ + y’i (x’, y’ ∈ R)
• I(a;b) là điểm biểu diễn của z0 = a + bi cho trước (a, b ∈ R).

Khi đó, ta có các kết quả sau:

• |z| = √(x^2 + y^2) = OM (khoảng cách từ điểm M đến gốc toạ độ O).
• |z – z’| = √(x’ – x)^2 + (y’ – y)^2 = MN (khoảng cách giữa M và N).
• |z – z0| ≤ R ⇔ (x – a)^2 + (y – b)^2 ≤ R^2: hình tròn tâm I(a; b), bán kính R.
• |z – z0| = R ⇔ (x – a)^2 + (y – b)^2 = R^2: đường tròn tâm I(a; b), bán kính R.