Lý thuyết phương pháp tọa độ trong không gian

Bài viết tổng hợp lý thuyết phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz, bao gồm các định nghĩa, tính chất và công thức thường sử dụng trong giải toán.

I. Tọa độ trong không gian.
1) Hệ trục tọa độ trong không gian $Oxyz$.
Hệ gồm ba trục $Ox$, $Oy$, $Oz$ đôi một vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian.
Điểm $O$ gọi là gốc của hệ tọa độ, trục $Ox$ là trục hoành, $Oy$ là trục tung và $Oz$ là trục cao.
Véctơ đơn vị trên các trục $Ox$, $Oy$, $Oz$ lần lượt là $\vec i$, $\vec j$, $\vec k$, ta có: $\left| {\vec i} \right| = \left| {\vec j} \right| = \left| {\vec k} \right| = 1$, $\vec i.\vec j = \vec j.\vec k = \vec k.\vec i = 0.$
Xét điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow {OM} = x.\vec i + y.\vec j + z.\vec k$ thì $M(x; y; z).$ Ngược lại điểm $M(x; y; z)$ thì $\overrightarrow {OM} = x.\vec i + y.\vec j + z.\vec k.$
Với véctơ $\overrightarrow u $ trong hệ tọa độ $Oxyz$ luôn tồn tại duy nhất bộ $(x; y; z)$ thỏa $\vec u = x.\vec i + y.\vec j + z.\vec k.$ Tọa độ $\overrightarrow u $ là $(x; y; z).$

2) Tọa độ véctơ – Tọa độ điểm.
Cho $\overrightarrow a = ({x_1};{y_1};{z_1})$, $\overrightarrow b = ({x_2};{y_2};{z_2})$ và số thực $k.$ Khi đó:
$\overrightarrow a \pm \overrightarrow b = ({x_1} \pm {x_2};{y_1} \pm {y_2}).$
$k\overrightarrow a = (k{x_1};k{y_1};k{z_1}).$
$\overrightarrow a //\overrightarrow b $ $ \Leftrightarrow \overrightarrow a = k\overrightarrow b $ $ \Leftrightarrow \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \frac{{{y_1}}}{{{y_2}}} = \frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = k$ $ \Rightarrow \overrightarrow a = \overrightarrow b $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = {x_2}\\
{y_1} = {y_2}\\
{z_1} = {z_2}
\end{array} \right.$
Chú ý: Nếu ${x_2} = 0$ $\left( {{y_2} = 0, {z_2} = 0} \right)$ thì ${x_1} = 0$ $\left( {{y_1} = 0,{z_1} = 0} \right).$
$\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} .$
$\overrightarrow a .\overrightarrow b = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}.$
$\overrightarrow a \bot \overrightarrow b $ $ \Leftrightarrow {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2} = 0.$
$\cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|}}.$
Cho $A = ({x_A};{y_A};{z_A})$, $B = ({x_B};{y_B};{z_B})$, $C({x_C};{y_C};{z_C})$, $D({x_D};{y_D};{z_D}).$
Khi đó:
$\overrightarrow {AB} = ({x_B} – {x_A};{y_B} – {y_A};{z_B} – {z_A}).$
$AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|$ $ = \sqrt {{{({x_B} – {x_A})}^2} + {{({y_B} – {y_A})}^2} + {{({z_B} – {z_A})}^2}} .$
Trung điểm $I$ của đoạn $AB$: $I = \left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right).$
Trọng tâm $G$ của $\Delta ABC$: $G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right).$
Trọng tâm $G$ của tứ diện $ABCD$: $G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C} + {x_D}}}{4};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C} + {y_D}}}{4};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C} + {z_D}}}{4}} \right).$

3) Tích có hướng của hai véc tơ và ứng dụng.
a) Định nghĩa: Cho $\overrightarrow a = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)$ và $\overrightarrow b = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)$, ta có:
$\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {\left| \begin{array}{l}
{y_1}{\rm{ }}{z_1}\\
{y_2}{\rm{ }}{z_2}
\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l}
{z_1}{\rm{ }}{x_1}\\
{z_2}{\rm{ }}{x_2}
\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l}
{x_1}{\rm{ }}{y_1}\\
{x_2}{\rm{ }}{y_2}
\end{array} \right|} \right).$

b) Các tính chất:
$\overrightarrow a $ cùng phương $\overrightarrow b $ $ \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \overrightarrow 0 .$
$\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] \bot \overrightarrow a $ và $\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] \bot \overrightarrow b .$
$\left| {\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]} \right| = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\sin (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ).$

c) Các ứng dụng của tích có hướng:
Diện tích tam giác: ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right|.$
Thể tích:
+ Hình hộp ${V_{ABCD.A’B’C’D’}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right].\overrightarrow {AA’} } \right|.$
+ Tứ diện ${V_{ABCD}} = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|.$

d) Điều kiện 3 véctơ đồng phẳng:
$\overrightarrow a $, $\overrightarrow b $, $\overrightarrow c $ đồng phẳng $ \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right].\overrightarrow c = 0.$
$A$, $B$, $C$, $D$ đồng phẳng $ \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = 0.$

4) Phương trình mặt cầu.
Mặt cầu $(S)$ tâm $I(a;b;c)$, bán kính $R$ có phương trình: ${(x – a)^2} + {(y – b)^2} + {(z – c)^2} = {R^2}.$
Phương trình này có thể được biểu diễn cách khác như sau: ${x^2} + {y^2} + {z^2} – 2ax – 2by – 2cz + d = 0$, với $d = {a^2} + {b^2} + {c^2} – {R^2}$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} + {c^2} – d > 0\\
R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} – d}
\end{array} \right.$

II. Phương trình mặt phẳng.
1) Véctơ pháp tuyến.
a) Định nghĩa: Cho mặt phẳng $(\alpha ).$ Véctơ $\overrightarrow n e \overrightarrow 0 $ gọi là véctơ pháp tuyến (VTPT) của mặt phẳng $(\alpha )$ nếu giá của $\overrightarrow n $ vuông góc với $(\alpha )$, kí hiệu $\overrightarrow n \bot (\alpha ).$

b) Chú ý:
Nếu $\overrightarrow n $ là VTPT của $(\alpha )$ thì $k.\overrightarrow n $ $(k e 0)$ cũng là VTPT của $(\alpha ).$ Vậy mặt phẳng $(\alpha )$ có vô số VTPT.
Nếu hai véctơ $\overrightarrow a $, $\overrightarrow b $ (không cùng phương) có giá song song (hoặc nằm trên) $(\alpha )$ thì $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]$ là một VTPT của mặt phẳng $(\alpha ).$
Nếu ba điểm $A$, $B$, $C$ phân biệt không thẳng hàng thì véctơ $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]$ là một VTPT của mặt phẳng $\left( {ABC} \right).$

2) Phương trình tổng quát của mặt phẳng.
Cho mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $M({x_0};{y_0};{z_0})$, có $\overrightarrow n = (A;B;C)$ là một VTPT. Khi đó phương trình tổng quát của $(\alpha )$ có dạng: $A(x – {x_0}) + B(y – {y_0}) + C(z – {z_0}) = 0.$
Nếu $(\alpha )$: $Ax + By + Cz + D = 0$ thì $\overrightarrow n = (A;B;C)$ là một VTPT của $(\alpha ).$
Nếu $A(a;0;0)$, $B(0;b;0)$, $C(0;0;c)$, $abc e 0$ thì phương trình của $(ABC)$ có dạng: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ và được gọi là phương trình theo đoạn chắn của $(\alpha ).$

3) Vị trí tương đối của hai mặt phẳng.
Cho hai mặt phẳng $(P)$: $Ax + By + Cz + D = 0$ và $(Q)$: $A’x + B’y + C’z + D’ = 0.$
$(P)$ cắt $(Q)$ $ \Leftrightarrow A:B:C e A’:B’:C’.$
$(P)//(Q)$ $ \Leftrightarrow \frac{A}{{A’}} = \frac{B}{{B’}} = \frac{C}{{C’}} e \frac{D}{{D’}}.$
$(P) \equiv (Q)$ $ \Leftrightarrow \frac{A}{{A’}} = \frac{B}{{B’}} = \frac{C}{{C’}} = \frac{D}{{D’}}.$
$(P) \bot (Q)$ $ \Leftrightarrow AA’ + BB’ + CC’ = 0.$

4) Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Khoảng cách từ $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ đến mặt phẳng $(P)$: $Ax + By + Cz + D = 0$ là: $d(M,(P)) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}.$

III. Phương trình đường thẳng trong không gian.
1) Phương trình tham số của đường thẳng.
a) Véctơ chỉ phương của đường thẳng:
Cho đường thẳng $\Delta .$ Véctơ $\overrightarrow u e \overrightarrow 0 $ gọi là véctơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng $\Delta $ nếu giá của nó song song hoặc trùng với $\Delta .$
Chú ý:
Nếu $\overrightarrow u $ là VTCP của $\Delta $ thì $k.\overrightarrow u $ $(k e 0)$ cũng là VTCP của $\Delta .$
Nếu đường thẳng $\Delta $ đi qua hai điểm $A$ và $B$ thì $\overrightarrow {AB} $ là một VTCP của $\Delta .$
Nếu $\Delta $ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ thì $\left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \overrightarrow {{u_\Delta }} $ là một VTCP của $\Delta $ (trong đó $\overrightarrow {{n_P}} $, $\overrightarrow {{n_Q}} $ lần lượt là VTPT của $(P)$ và $(Q).$

b) Phương trình tham số của đường thẳng:
Cho đường thẳng $\Delta $ đi qua $M({x_0};{y_0};{z_0})$ và có VTCP $\overrightarrow u = (a;b;c).$ Khi đó phương trình đường thẳng $\Delta $ có dạng: $\left\{ \begin{array}{l}
x = {x_0} + at\\
y = {y_0} + bt\\
z = {z_0} + ct
\end{array} \right.$ $t \in R.$
Phương trình này gọi là phương trình tham số của đường thẳng $\Delta $, $t$ gọi là tham số.
Chú ý: Cho đường thẳng $\Delta $ có phương trình $\left\{ \begin{array}{l}
x = {x_0} + at\\
y = {y_0} + bt\\
z = {z_0} + ct
\end{array} \right.$ $t \in R$, khi đó:
$\overrightarrow u = (a;b;c)$ là một VTCP của $\Delta .$
$M \in \Delta $ $ \Leftrightarrow M({x_0} + at;{y_0} + bt;{z_0} + ct).$

2) Phương trình chính tắc.
Cho đường thẳng $\Delta $ đi qua $M({x_0};{y_0};{z_0})$ và có VTCP $\overrightarrow u = (a;b;c)$ với $abc e 0.$ Khi đó phương trình đường thẳng $\Delta $ có dạng: $\frac{{x – {x_0}}}{a} = \frac{{y – {y_0}}}{b} = \frac{{z – {z_0}}}{c}.$
Phương trình này gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta .$

3) Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng.
Cho hai đường thẳng $d$: $\frac{{x – {x_0}}}{a} = \frac{{y – {y_0}}}{b} = \frac{{z – {z_0}}}{c}$ đi qua $M({x_0};{y_0};{z_0})$ có VTCP $\overrightarrow {{u_d}} = (a;b;c)$ và $d’$ $\frac{{x – x_0^,}}{{a’}} = \frac{{y – y_0^,}}{{b’}} = \frac{{z – z_0^,}}{{c’}}$ đi qua $M'(x_0^,;y_0^,;z_0^,)$ có VTCP $\overrightarrow {{u_{d’}}} = (a’;b’;c’).$
Nếu $[\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{u_{d’}}} ]\overrightarrow {MM’} = 0$ $ \Rightarrow d$ và $d’$ đồng phẳng. Khi đó xảy ra ba trường hợp:
i) $d$ và $d’$ cắt nhau $ \Leftrightarrow [\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} ] e \overrightarrow 0 $ và tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ: $\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{x – {x_0}}}{a} = \frac{{y – {y_0}}}{b} = \frac{{z – {z_0}}}{c}\\
\frac{{x – x_0^,}}{{a’}} = \frac{{y – y_0^,}}{{b’}} = \frac{{z – z_0^,}}{{c’}}
\end{array} \right.$
ii) $d//d’$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
[\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} ] = \overrightarrow 0 \\
[\overrightarrow u ,\overrightarrow {MM’} ] e \overrightarrow 0
\end{array} \right.$
iii) $d \equiv d’$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
[\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} ] = \overrightarrow 0 \\
[\overrightarrow u ,\overrightarrow {MM’} ] = \overrightarrow 0
\end{array} \right.$
Nếu $[\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} ]\overrightarrow {MM’} e 0$ $ \Rightarrow $ $d$ và $d’$ chéo nhau.

4) Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Cho mặt phẳng $(\alpha )$: $Ax + By + Cz + D = 0$ có $\overrightarrow n = (A;B;C)$ là VTPT và đường thẳng $\Delta $: $\frac{{x – {x_0}}}{a} = \frac{{y – {y_0}}}{b} = \frac{{z – {z_0}}}{c}$ có $\overrightarrow u = (a;b;c)$ là VTCP và đi qua ${M_0}({x_0};{y_0};{z_0}).$
$\Delta $ cắt $(\alpha )$ $ \Leftrightarrow \overrightarrow n $ và $\overrightarrow u $ không cùng phương $ \Leftrightarrow Aa + Bb + Cc e 0.$ Khi đó tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ: $\left\{ \begin{array}{l}
Ax + By + Cz + D = 0\\
\frac{{x – {x_0}}}{a} = \frac{{y – {y_0}}}{b} = \frac{{z – {z_0}}}{c}
\end{array} \right.$
$\Delta //(\alpha )$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow n \bot \overrightarrow u \\
{M_0} otin (\alpha )
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
Aa + Bb + Cc = 0\\
A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D e 0
\end{array} \right.$
$\Delta \subset (\alpha )$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow n \bot \overrightarrow u \\
{M_0} \in (\alpha )
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
Aa + Bb + Cc = 0\\
A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D = 0
\end{array} \right.$
$\Delta \bot (\alpha )$ $ \Leftrightarrow \overrightarrow n $ và $\overrightarrow u $ cùng phương $ \Leftrightarrow \overrightarrow n = k.\overrightarrow u .$

5) Khoảng cách.
a) Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
Cho đường thẳng $\Delta $ đi qua ${M_0}$, có VTCP $\overrightarrow u $ và điểm $M otin \Delta .$ Khi đó để tính khoảng cách từ $M$ đến $\Delta $ ta có các cách sau:
+ Cách 1: Sử dụng công thức: $d(M,\Delta ) = \frac{{\left| {[\overrightarrow {{M_0}M} ,\overrightarrow u ]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} .$
+ Cách 2: Lập phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $M$ vuông góc với $\Delta .$ Tìm giao điểm $H$ của $(P)$ với $\Delta .$ Khi đó độ dài $MH$ là khoảng cách cần tìm.

b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
Cho hai đường thẳng chéo nhau $\Delta $ đi qua ${M_0}$ có VTCP $\overrightarrow u $ và $\Delta’$ đi qua ${M_0}’$ có VTCP $\overrightarrow {u’} .$ Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng $\Delta $ và $\Delta’$ được tính theo các cách sau:
+ Cách 1: Sử dụng công thức: $d(\Delta ,\Delta’) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} } \right].\overrightarrow {{M_0}M{‘_0}} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} } \right]} \right|}}.$
+ Cách 2: Tìm đoạn vuông góc chung $MN.$ Khi đó độ dài $MN$ là khoảng cách cần tìm.
+ Cách 3: Lập phương trình $\left( P \right)$ đi qua $\Delta $ và song song với $\Delta’ .$ Khi đó khoảng cách cần tìm là khoảng cách từ một điểm bất kì trên $\Delta’$ đến $(P).$

IV. Góc.
1) Góc giữa hai đường thẳng.
Cho hai đưòng thẳng $\Delta $ $\frac{{x – {x_0}}}{a} = \frac{{y – {y_0}}}{b} = \frac{{z – {z_0}}}{c}$ có VTCP $\overrightarrow u = (a;b;c)$ và đường thẳng $\Delta’$: $\frac{{x – {x_0}’}}{{a’}} = \frac{{y – {y_0}’}}{{b’}} = \frac{{z – {z_0}’}}{{c’}}$ có VTCP $\overrightarrow {u’} = (a’;b’;c’).$ Đặt $\alpha = \left( {\Delta ,\Delta’} \right)$, khi đó: $\cos \alpha = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} } \right)} \right|$ $ = \frac{{\left| {aa’ + bb’ + cc’} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {a{‘^2} + b{‘^2} + c{‘^2}} }}.$

2) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Cho mặt phẳng $(\alpha )$: $Ax + By + Cz + D = 0$ có $\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)$ là VTPT và đường thẳng $\Delta $: $\frac{{x – {x_o}}}{a} = \frac{{y – {y_o}}}{b} = \frac{{z – {z_o}}}{c}$ có $\overrightarrow u = (a;b;c)$ là VTCP. Gọi $\varphi $ là góc giữa mặt phẳng $(\alpha )$ và đường thẳng $\Delta $, khi đó ta có: $\sin \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow u } \right)} \right|$ $ = \frac{{\left| {Aa + Bb + Cc} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}.$

3) Góc giữa hai mặt phẳng.
Cho hai mặt phẳng $(\alpha )$: $Ax + By + Cz + D = 0$ có VTPT $\overrightarrow {{n_1}} = (A;B;C)$ và $\beta )$: $A’x + B’y + C’z + D’ = 0$ có VTPT $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {A’;B’;C’} \right).$
Gọi $\varphi $ là góc giữa hai mặt phẳng (${0^0} \le \varphi \le {90^0}$). Khi đó: $\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right|$ $ = \frac{{\left| {AA’ + BB’ + CC’} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \sqrt {A{‘^2} + B{‘^2} + C{‘^2}} }}.$