Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trùng phương

Bài viết hướng dẫn các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trùng phương $y=ax^4+bx2+c$ với $a≠0$, cùng với đó là lời giải chi tiết một số dạng toán liên quan. Kiến thức và các ví dụ minh họa trong bài viết được tham khảo từ các tài liệu về chuyên đề hàm số xuất bản trên MeToan.Com.

Phương pháp: Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trùng phương $y = a{x^4} + b{x^2} + c$ với $a ≠ 0.$
+ Bước 1. TXĐ: $D=\mathbb{R}.$
+ Bước 2. Đạo hàm: ${y}’=4a{{x}^{3}}+2bx$ $=2x(2a{{x}^{2}}+b)$ $\Rightarrow {y}’=0\Leftrightarrow x=0$ hoặc ${{x}^{2}}=-\frac{b}{2a}$.
Nếu $ab\ge 0$ thì $y$ có một cực trị ${{x}_{0}}=0.$
Nếu $ab<0$ thì $y$ có $3$ cực trị ${{x}_{0}}=0$, $\text{ }{{x}_{1,2}}=\pm \sqrt{-\frac{b}{2a}}.$
+ Bước 3. Đạo hàm cấp $2$: ${y}”=12a{{x}^{2}}+2b$, $\text{ }{y}”=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}=-\frac{b}{6a}.$
Nếu $ab\ge 0$ thì đồ thị không có điểm uốn.
Nếu $ab<0$ thì đồ thị có $2$ điểm uốn.
+ Bước 4. Bảng biến thiên và đồ thị:
**Trường hợp 1**. $a>0, b<0$: Hàm số có $3$ cực trị.

Trường hợp 2. $a < 0, b > 0$: Hàm số có $3$ cực trị.

Trường hợp 3. $a > 0,b \ge 0$: Hàm số có $1$ cực trị.

Trường hợp 4. $a < 0, b \le 0$: Hàm số có $1$ cực trị.

Một số tính chất của hàm số trùng phương:
+ Đồ thị của hàm số $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c\text{ }(a e 0)$ cắt trục hoành tại $4$ điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng khi phương trình: $a{{X}^{2}}+bX+c=0$ có $2$ nghiệm dương phân biệt thỏa ${{X}_{1}}=9{{X}_{2}}$.
+ Nếu đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thì ba điểm cực trị tạo thành một tam giác cân có đỉnh nằm trên $Oy.$
+ Nếu đường thẳng $d$ là tiếp tuyến của đồ thị thì đường thẳng $d’$ đối xứng với $d$ qua $Ox$ cũng là tiếp tuyến của đồ thị.

Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1. Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-1$ có đồ thị $(C).$
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $(C)$ của hàm số.
2. Dùng đồ thị $(C)$, hãy biện luận theo $m$ số nghiệm thực của phương trình ${{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-1=m \left( * \right).$

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị:
Tập xác định: $D=\mathbb{R}.$
Chiều biến thiên:
Ta có: $y’=4{{x}^{3}}-4x$ $= 4x\left( {{x}^{2}}-1 \right).$
$y’=0\Leftrightarrow 4x\left( {{x}^{2}}-1 \right)=0$ $\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=\pm 1.$
$y’ > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { – 1;0} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$, $y’ < 0 \Leftrightarrow x \in \left( { – \infty ; – 1} \right) \cup \left( {0;1} \right).$
Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( { – \infty ; – 1} \right)$ và $\left( {0;1} \right)$, đồng biến trên các khoảng $\left( -1;0 \right)$ và $\left( 1;+\infty \right)$.
Hàm số đạt cực đại tại điểm $x=0$; giá trị cực đại của hàm số là $y\left( 0 \right)=-1$.
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=\pm 1$; giá trị cực tiểu của hàm số là $y\left( \pm 1 \right)=-2$.
Giới hạn của hàm số tại vô cực: $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = + \infty $, $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty .$
Bảng biến thiên:

Đồ thị:
Cho $y = – 1 \Rightarrow x = 0$, $x = \pm \sqrt 2 .$

2. Biện luận theo $m$ số nghiệm thực của phương trình:
Số nghiệm của $(*)$ là số giao điểm của $(C)$ và $\left( d \right):y=m$.
Dựa vào đồ thị, ta thấy:
+ Khi $m<-2$ thì $(*)$ vô nghiệm.
+ Khi $\left[ \begin{align}
& m=-2 \\
& m>-1 \\
\end{align} \right.$ thì $(*)$ có $2$ nghiệm.
+ Khi $-2<m<-1$ thì $(*)$ có $4$ nghiệm.
+ Khi $m=-1$ thì (*) có $3$ nghiệm.

Ví dụ 2. Cho hàm số $y=\frac{1}{2}{{x}^{4}}-m{{x}^{2}}+\frac{3}{2}$ có đồ thị $(C).$
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $(C)$ của hàm số $m=3.$
2. Xác định $m$ để đồ thị của hàm số có cực tiểu mà không có cực đại.

1. Khi $m=3$ thì hàm số là : $y=\frac{1}{2}{{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+\frac{3}{2}.$
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
Chiều biến thiên:
Ta có : $y’=2{{\text{x}}^{3}}-6\text{x}=2\text{x}\left( {{x}^{2}}-3 \right).$
$y’=0\Leftrightarrow 2\text{x}\left( {{x}^{2}}-3 \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& x=0 \\
& x=\pm \sqrt{3} \\
\end{align} \right.$
Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( -\sqrt{3};0 \right)$ và $\left( \sqrt{3};+\infty \right)$, nghịch biến trên các khoảng $\left( -\infty ;-\sqrt{3} \right)$ và $\left( 0;\sqrt{3} \right)$.
Hàm số đạt cực đại tại điểm $x=0$; giá trị cực đại của hàm số là $y\left( 0 \right)=\frac{3}{2}$.
Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm $x=\pm \sqrt{3}$; giá trị cực tiểu của hàm số là $y\left( \pm \sqrt{3} \right)=-3$.
Giới hạn của hàm số tại vô cực: $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = + \infty $, $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty .$
Bảng biến thiên:

Đồ thị:
Cho $y=\frac{3}{2}$ $\Rightarrow \frac{1}{2}{{x}^{4}}-3{{x}^{2}}=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& x=0 \\
& x=\pm \sqrt{6} \\
\end{align} \right.$
Vì hàm số đã cho là hàm số chẵn, nên đồ thị của nó nhận trục tung làm trục đối xứng.

2. Tập xác định: $D=\mathbb{R}.$
Đạo hàm: ${y}’=2{{x}^{3}}-2mx;$ ${y}’=0\Leftrightarrow x=0$ hoặc ${{x}^{2}}=m\left( * \right)$.
Hàm số có cực tiểu mà không có cực đại $⇔ y’ = 0$ có một nghiệm duy nhất và $y’$ đổi dấu từ âm sang dương khi $x$ đi qua nghiệm đó $⇔$ phương trình $(*)$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép $x = 0$ $⇔m≤0.$
Vậy giá trị cần tìm là: $m≤0.$

Ví dụ 3. Cho hàm số ${\rm{y}} = {{\rm{x}}^{\rm{4}}}–{\rm{2}}\left( {{\rm{m}} + {\rm{1}}} \right){{\rm{x}}^{\rm{2}}} + {\rm{m}}$ có đồ thị $(C).$
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $(C)$ của hàm số khi $m = 1.$
2. Tìm $m$ để đồ thị hàm số $(1)$ có ba điểm cực trị $A$, $B$, $C$ sao cho $OA = BC$; trong đó $O$ là gốc tọa độ, $A$ là điểm cực trị thuộc trục tung, $B$ và $C$ là hai điểm cực trị còn lại.

1. ${\rm{y}} = {{\rm{x}}^{\rm{4}}}–{\rm{ 4}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}} + {\rm{1}}$.
Tập xác định D = $\mathbb{R}.$
Sự biến thiên:
Chiều biến thiên: $y’ = 4x^3 – 8x$; $y’ = 0$ $⇔ x = 0$ hoặc $x = \pm \sqrt{2}$.
Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-∞;-\sqrt{2})$ và $(0; \sqrt{2})$; đồng biến trên các khoảng $\left( -\sqrt{2};0 \right)$ và $\left( \sqrt{2};+\infty \right)$.
Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại $x = ± \sqrt{2}$; ${y_{CT}} = – 3$, đạt cực đại tại $x = 0$; ${y_{CĐ}} = 1$.
Giới hạn: $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty $.
Bảng biến thiên:

Đồ thị:

2. Xét $y = x^4 – 2(m + 1)x^2 + m$ $(C_m).$
$y’ = 4x^3 – 4(m + 1)x.$
Đồ thị của hàm số $(C_m)$ có ba cực trị khi và chỉ khi phương trình $y’ = 0$ có ba nghiệm phân biệt.
Ta có: $y’ = 0 ⇔ 4x(x^2 – m – 1) = 0$ $⇔x = 0$ hoặc ${x^2} = m + 1$.
Vì thế để thỏa mãn điều kiện trên thì phương trình $x^2 = m + 1$ cần có hai nghiệm phân biệt khác $0$. Điều đó xảy ra khi và chỉ khi: $m + 1 > 0 ⇔ m > -1$ $(1)$.
Kết luận thỏa mãn $(1)$, $(C_m)$ có ba cực trị tại các điểm: $A(0, m)$, $B\left( { – \sqrt {m + 1} ; – {m^2} – m – 1} \right)$, $C\left( {\sqrt {m + 1} ; – {m^2} – m – 1} \right)$.
Lúc đó: $OA = OB ⇔ OA^2 = BC^2$ (do $OA > 0$; $BC > 0$) $⇔ m^2 = 4(m + 1)$ $⇔ m^2 – 4m – 4 = 0$ $ \Leftrightarrow m = 2 \pm 2\sqrt 2 $.