Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm đa thức

Bài viết hướng dẫn phương pháp khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm đa thức thường gặp trong chương trình Giải tích 12: hàm số bậc ba và hàm số trùng phương.

A. TÓM TẮT SÁCH GIÁO KHOA
CÁC BƯỚC KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA MỘT HÀM SỐ
1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số.
a.
+ Tìm các giới hạn của hàm số: giới hạn tại vô cực và giới hạn vô cực.
+ Tìm các tiệm cận của đồ thị.
b. Lập bảng biến thiên của hàm số:
+ Tìm đạo hàm $y’$ của hàm số.
+ Xét dấu $y’.$ Từ đó suy ra chiều biến thiên và tìm cực trị của hàm số.
+ Ghi các kết quả vào bảng biến thiên.
3.
+ Tìm điểm uốn của đồ thị hàm số (đối với hàm đa thức).
+ Tìm đạo hàm $y”$. Xét dấu $y”$, từ đó suy ra điểm uốn của đồ thị hàm số.
4. Vẽ đồ thị của hàm số:
+ Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị (nếu có).
+ Tìm các điểm đặc biệt của đồ thị (giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ …).
+ Vẽ đồ thị của hàm số.
+ Nhận xét về đồ thị: chỉ ra trục hay tâm đối xứng của đồ thị.

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
**Vấn đề 1: Khảo sát hàm số bậc ba $y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ $(a e 0).$
**1. PHƯƠNG PHÁP:
1. Tập xác định: $D = R.$
2. Khảo sát sự biến thiên
Giới hạn: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \pm \infty $ khi $a > 0$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mp \infty $ khi $a < 0.$
$y’ = 3a{x^2} + 2bx + c$ có $\Delta ‘ = {b^2} – 3ac.$
$\Delta’ > 0 \Leftrightarrow $ Hàm số có hai cực trị.
$\Delta’ \le 0 \Leftrightarrow $ Hàm số không có cực trị.
Lập bảng biến thiên: Có 6 dạng bảng biến thiên sau:
$y’ = 0$ có $2$ nghiệm phân biệt và $a > 0$ (đồ thị dạng 1).

$y’ = 0$ có $2$ nghiệm phân biệt và $a < 0$ (đồ thị dạng 2).

$y’ = 0$ có nghiệm kép và $a>0$ (đồ thị dạng 3).

$y’=0$ có nghiệm kép và $a< 0$ (đồ thị dạng 4).

$y’ = 0$ vô nghiệm và $a > 0$ (đồ thị dạng 5).

$y’ = 0$ vô nghiệm và $a < 0$ (đồ thị dạng 6).

**3. Điểm uốn
**$y” = 6ax + 2b.$
$y” = 0 \Leftrightarrow x = – \frac{b}{{3a}}.$
Lập bảng xét dấu $y”$. Suy ra đồ thị có một điểm uốn $I\left( { – \frac{b}{{3a}};f\left( { – \frac{b}{{3a}}} \right)} \right).$
4. Đồ thị
Có 6 dạng đồ thị tương ứng với 6 bảng biến thiên:

Nhận xét: Đồ thị hàm số bậc ba luôn nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.

2. CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: $y = {x^3} – 3{x^2} + 4.$

1. Tập xác định: $D = R.$
2. Khảo sát chiều biến thiên:
Giới hạn: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty $, $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = – \infty .$
Chiều biến thiên:
$y’ = 3{x^2} – 6x$ $y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0 \to y = 4}\\
{x = 2 \to y = 0}
\end{array}} \right..$
Bảng biến thiên:

Vậy:
Hàm số tăng trong $( – \infty ;0)$ và $(2; + \infty ).$
Hàm số giảm trong $(0; 2).$
Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$, ${y_{CĐ}} = 4$ và đạt cực tiểu tại $x = 2$, ${y_{CT}} = 0.$
3. Điểm uốn: $y” = 6x – 6$, $y” = 0 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y = 2.$
Đồ thị có điểm uốn $I(1;2).$
4. Đồ thị:
Giá trị đặc biệt:

Đồ thị:

Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận điểm uốn $I( – 1; – 2)$ làm tâm đối xứng.

Ví dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: $y = – {x^3} + 3{x^2} – 3x – 1.$

1. Tập xác định: $D= R.$
2. Khảo sát sự biến thiên:
Giới hạn: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = – \infty $, $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = + \infty .$
Chiều biến thiên:
$y’ = – 3{x^2} + 6x – 3$, $y’ = 0 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y = – 2.$
Bảng biến thiên:

Vậy:
Hàm số giảm trong $( – \infty ; + \infty ).$
Hàm số không đạt cực trị.
3. Điểm uốn: $y” = – 6x + 6$, $y” = 0 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y = – 2.$
Đồ thị có điểm uốn là $I(1; – 2).$
4. Đồ thị:
Giá trị đặc biệt:

Đồ thị:

Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận điểm uốn $I(1;-2)$ làm tâm đối xứng.

Ví dụ 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số: $y = {x^3} + 3{x^2} + 4x + 2.$

1. Tập xác định: $D = R.$
2. Khảo sát sự biến thiên:
Giới hạn: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty $, $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = – \infty .$
Chiều biến thiên: $y’ = 3{x^2} + 6x + 4 > 0$ với mọi $x \in R.$
Bảng biến thiên:

Vậy: Hàm số tăng trong $( – \infty ; + \infty )$. Hàm số không đạt cực trị.
3. Điểm uốn: $y” = 6x + 6$, $y” = 0 \Leftrightarrow x = – 1 \Rightarrow y = 0.$
Đồ thị có điểm uốn là $I( – 1;0).$
4. Đồ thị:
Giá trị đặc biệt:

Đồ thị:

Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận điểm uốn $I( – 1;0)$ làm tâm đối xứng.

3. BÀI TẬP:
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:
a) $y = – {x^3} – 3{x^2} + 2.$
b) $y = 2{x^3} – 3{x^2} + 2.$
c) $y = {x^3} – 3{x^2} + 5x – 2.$
d) $y = – \frac{8}{3}{x^3} + 4{x^2} – 2x + \frac{1}{3}.$

2. Cho hàm số $y = – \frac{1}{3}{x^3} – {x^2} + 3x – \frac{1}{3}$ có đồ thị $(C).$
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $(C)$ của hàm số.
b. Chứng minh đồ thị $(C)$ nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
c. Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm uống.

3. Cho hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} – {x^2} – 3x + 1.$
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $(C)$ của hàm số.
b. Tìm điểm trên $(C)$ có hệ số góc của tiếp tuyến nhỏ nhất.
c. Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ biết vuông góc với đường thẳng $(d):y = \frac{1}{3}x + 10.$

4. Cho hàm số $y = {x^3} – 3m{x^2} + 3m – 1.$
a. Định $m$ để hàm số có cực trị. Viết phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số.
b. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi $m = 1.$

5. Cho hàm số $y = {x^3} – 3m{x^2} + 3\left( {{m^2} – 1} \right)x + 1 + m$ $\left( {{C_m}} \right).$
a. Định $m$ để hàm số đạt cực tiểu tại $x = 3.$
b. Khảo sát và vẽ đồ thị $(C)$ của hàm số với $m = 1.$

6. Cho hàm số $y = {x^3} – m{x^2} + (2m + 1)x – m – 2$ $\left( {{C_m}} \right).$
a. Khảo sát và vẽ đồ thị $(C)$ của hàm số khi $m = 0.$
b. Tìm điểm cố định của $\left( {{C_m}} \right).$
c. Tìm $m$ để $\left( {{C_m}} \right)$ cắt trục hoành tại $3$ điểm có hoành độ dương.

7. Cho hàm số $y = (m + 1){x^3} – (4m + 1)x – 3m + 1$ có đồ thị $\left( {{C_m}} \right).$
a. Chứng minh rằng với mọi $m$ đồ thị hàm số đi qua $3$ điểm cố định thẳng hàng.
b. Định $m$ để đồ thị hàm số có tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng đi qua $3$ điểm cố định trên.

8. Cho hàm số $y = {x^3} + m{x^2} – m – 1.$
a. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại các điểm cố định. Tìm quỹ tích giao điểm của các tiếp tuyến đó.
b. Khảo sát và vẽ đồ thị $(C)$ của hàm số khi $m = -3.$
c. Định $a$ để điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị $(C)$ ở về hai phía khác nhau của đường tròn $(T)$: ${x^2} + {y^2} – 2ax – 4ay + 4{a^2} – 4 = 0.$

9. Cho hàm số $y = {x^3} – (2m + 1){x^2} + \left( {{m^2} – 4m + 3} \right)x + 3.$
a. Khảo sát hàm số khi $m = 1.$
b. Xác định tất cả các giá trị $m$ để hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu ở về hai phía của trục tung.

10. Cho hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} – m{x^2} – x + m + 1.$
a. Khảo sát hàm số khi $m = 0.$
b. Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã khảo sát, hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.
c. Chứng rằng với mọi $m$ hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu. Hãy định $m$ để khoảng cách giữa điểm cực đại, cực tiểu nhỏ nhất.

Vấn đề 2: Khảo sát hàm số trùng phương $y = a{x^4} + b{x^2} + c$ $(a e 0).$
1. PHƯƠNG PHÁP:
1. Tập xác định: $D=R.$
2. Khảo sát sự biến thiên
Giới hạn:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = + \infty $ khi $a > 0.$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = – \infty $ khi $a < 0.$
$y’ = 4a{x^3} + 2bx = 2x\left( {2a{x^2} + b} \right).$
+ Nếu $ab < 0$: $y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hay $x = \pm \sqrt {\frac{{ – b}}{{2a}}} .$
Suy ra hàm số có ba cực trị.
+ Nếu $ab \ge 0$: $y’$ chỉ đổi dấu tại $x = 0.$
Suy ra hàm số có một cực trị, đạt tại $x = 0.$
Lập bảng biến thiên:
Tùy theo dấu của $a$ và tích $ab < 0$ hay $ab \ge 0$ ta có 4 dạng bảng biến thiên.
Kết luận các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số.
3. Đồ thị
Có 4 dạng đồ thị tương ứng với 4 dạng bảng biến thiên:

Nhận xét: Hàm số trùng phương là hàm chẵn nên đồ thị nhận $Oy$ làm trục đối xứng.

2. CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: $y = {x^4} – 2{x^2} + 2.$

1. Tập xác định: $D = R.$
2. Khảo sát sự biến thiên:
Giới hạn: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = + \infty .$
Sự biến thiên:
$y’ = 4{x^3} – 4x = 4x\left( {{x^2} – 1} \right)$, $y’ = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0\quad \Rightarrow y = 2}\\
{x = \pm 1 \Rightarrow y = 1}
\end{array}} \right..$
Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trong $( – 1;0)$, $(1; + \infty )$, nghịch biến trong $( – \infty , – 1)$, $(0;1).$
Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$, ${y_{CĐ}} = 2$, hàm số đạt cực tiểu tại $x = \pm 1$, ${y_{CT}} = 1.$
3. Đồ thị:
Giá trị đặc biệt:

Đồ thị:

Nhận xét: Đồ thị nhận trục $Oy$ làm trục đối xứng.

Ví dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: $y = – \frac{{{x^4}}}{2} – {x^2} + \frac{3}{2}.$

1. Tập xác định: $D = R.$
2. Khảo sát sự biến thiên:
Giới hạn: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = – \infty .$
Sự biến thiên: $y’ = – 2{x^3} – 2x = – 2x\left( {{x^2} + 1} \right)$, $y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow y = \frac{3}{2}.$
Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trong $( – \infty ;0).$
Hàm số nghịch biến trong $(0; + \infty ).$
Hàm số đạt cực đại tại $x = 0,{y_{CĐ}} = \frac{3}{2}.$
3. Đồ thị:
Giá trị đặc biệt:

Đồ thị:

Nhận xét: Đồ thị nhận trục $Oy$ làm trục đối xứng.

3. BÀI TẬP:
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số:
a) $y = 1 + 2{x^2} – {x^4}.$
b) $y = {x^4} + 4{x^2} – 1.$
c) $y = – {x^4} – {x^2} + 2.$
d) $y = \frac{1}{4}{x^4} – 2{x^2} + 1.$

2. Cho hàm số $y = {x^4} + 2(m – 2){x^2} + {m^2} – 6m$ $\left( {{C_m}} \right).$
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi $m = 1.$
b) Định $m$ để $\left( {{{\rm{C}}_m}} \right)$ cắt $Ox$ tại $4$ điểm phân biệt.

3. Cho hàm số $y = (1 – m){x^4} + m{x^2} + 2m – 1.$
a) Định $m$ để hàm số có đúng một cực trị.
b) Định $m$ để hàm số đạt cực đại tại $x = 1.$

4. Cho hàm số $y = {x^4} – 2m{x^2} – m – 1.$
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $(C)$ của hàm số khi $m = -1.$
b) Viết phương trình tiếp tuyến $(d)$ của $(C)$ biết $(d)$ song song với đường thẳng $(\Delta ):8x + y = 0.$

5. Cho hàm số $y = f(x) = – \frac{{{x^4}}}{2} + a{x^2} + \frac{b}{2}.$
a) Tìm $a$, $b$ để hàm số đạt cực trị bằng $2$ khi $x = 1.$
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $(C)$ của hàm số với $a$, $b$ tìm được ở câu a.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại các giao điểm của $(C)$ và trục hoành.

6. Cho hàm số $y = {x^4} + 2m{x^2} + 1$ $\left( {{C_m}} \right).$
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi $m = -1.$
b) Tìm các giá trị của tham số $m$ để $\left( {{C_m}} \right)$ có ba điểm cực trị và đường tròn đi qua ba điểm này có bán kính bằng $1.$

7. Cho hàm số $y = {x^4} + m{x^2} – m – 1$ $\left( {{C_m}} \right).$
a) Tìm các điểm cố định của $\left( {{C_m}} \right).$
b) Gọi $A$ là điểm cố định có hoành độ dương, hãy tìm $m$ để tiếp tuyến với đồ thị tại $A$ song song với đường thẳng $y = -2x.$

8. Cho hàm số $y = {(x – 1)^2}{(x – a)^2}$ có đồ thị $\left( {{C_a}} \right).$
a) Khảo sát và vẽ đồ thị $(C)$ của hàm số khi $a = 0.$
b) Xác định $a$ để hàm số có đồ thị $\left( {{C_a}} \right)$ có điểm cực đại.
c) Chứng minh rằng: Với mọi giá trị của $a$ đồ thị $\left( {{C_a}} \right)$ luôn có trục đối xứng cùng phương với trục tung.

9. Cho hàm số $y = {x^4} – 2m{x^2} + 2m + {m^4}.$
a) Với giá trị $m$ nào thì hàm số có cực đại, cực tiểu đồng thời các điểm cực đại, cực tiểu lập thành một tam giác đều.
b) Khảo sát và vẽ đồ thị $(C)$ của hàm số khi $m = 1.$

10. Cho hàm số $y = {x^4} – 2(m + 1){x^2} + m$ $(1).$
a) Khảo sát và vẽ đồ thị $(C)$ của hàm số khi $m = 1.$
b) Tìm $m$ để đồ thị hàm số $(1)$ có ba điểm cực trị $A$, $B$, $C$ sao cho $OA = BC$ trong đó $O$ là gốc tọa độ, $A$ là điểm cực trị thuộc trục tung và $B$, $C$ là hai điểm cực trị còn lại.