Đề Thi Olympic Toán Quốc Tế IMO 2024 - Kèm Đáp Án

Kỳ thi Olympic Toán Quốc tế (IMO) lần thứ 65, được tổ chức vào năm 2024. Đề thi được trình bày bằng tiếng Việt và bao gồm hai ngày thi, mỗi ngày gồm 3 bài toán với thời gian làm bài là 4 giờ 30 phút. Mỗi bài toán được chấm điểm tối đa là 7 điểm.

Thông tin chung về đề thi:

• Kỳ thi: Olympic Toán Quốc tế (IMO) lần thứ 65
• Năm: 2024
• Ngôn ngữ: Tiếng Việt
• Thời gian: 4 giờ 30 phút mỗi ngày
• Số bài: 3 bài mỗi ngày
• Điểm mỗi bài: 7 điểm

Phân tích cấu trúc đề thi:

Đề thi IMO 2024 bao gồm các dạng bài toán sau:

• Số học: Các bài toán liên quan đến số nguyên, tính chia hết, ước chung lớn nhất, tìm số thỏa mãn điều kiện,... (Bài 1, Bài 2)
• Dãy số: Bài toán liên quan đến dãy số vô hạn, tính tuần hoàn của dãy số. (Bài 3)
• Hình học: Bài toán liên quan đến tam giác, đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp, góc, đường thẳng song song. (Bài 4)
• Tổ hợp: Bài toán liên quan đến chiến lược tìm kiếm trên bảng ô vuông, bài toán đếm. (Bài 5)
• Đại số: Bài toán liên quan đến hàm số, tìm điều kiện của hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước. (Bài 6)

Một số bài toán trong đề:

• Bài 1: Xác định tất cả các số thực a sao cho với mọi số nguyên dương n thì số nguyên [α] + [2α] + … + [nα] là một bội của n. (Trong đó, [z] ký hiệu số nguyên lớn nhất không vượt quá z. Ví dụ, [-π] = −4 và [2] = [2,9] = 2.)
• Bài 2: Xác định tất cả các cặp số nguyên dương (a, b) sao cho tồn tại các số nguyên dương g và N thỏa mãn gcd(a² + b, bⁿ + a) = g với mọi số nguyên n ≥ N. (Trong đó, gcd(x, y) ký hiệu ước chung lớn nhất của các số nguyên x và y.)
• Bài 3: Cho dãy vô hạn các số nguyên dương a₁, a₂, a₃, ... và số nguyên dương N. Giả sử rằng với mọi n > N, aₙ bằng số lần xuất hiện của aₙ₋₁ trong dãy a₁, a₂, ..., aₙ₋₁. Chứng minh rằng một trong hai dãy số a₁, a₃, a₅,... và a₂, a₄, a₆,... là tuần hoàn kể từ một chỉ số nào đó. (Một dãy số vô hạn b₁, b₂, b₃,... là tuần hoàn kể từ một chỉ số nào đó nếu tồn tại các số nguyên dương p và M sao cho bₘ₊ₚ = bₘ với mọi m ≥ M.)
• Bài 4: Cho tam giác ABC với AB < AC < BC. Gọi I và ω tương ứng là tâm nội tiếp và đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Gọi X là điểm nằm trên đường thẳng BC, khác C, sao cho đường thẳng qua X và song song với AC tiếp xúc với ω. Tương tự, gọi Y là điểm nằm trên đường thẳng BC, khác B, sao cho đường thẳng qua Y và song song với AB tiếp xúc với ω. Đường thẳng AI cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại P ≠ A. Gọi K và L tương ứng là trung điểm của AC và AB. Chứng minh rằng ∠KIL + ∠YPX = 180°.
• Bài 5: Ốc sên Turbo chơi trò chơi sau trên một bảng ô vuông gồm 2024 hàng và 2023 cột. Trong 2022 ô vuông đơn vị nào đó, có các con quỷ nấp ở đó. Ban đầu, Turbo không hề biết ô nào có quỷ nấp, nhưng nó biết rằng trên mỗi hàng có đúng một con quỷ, ngoại trừ hàng đầu tiên và hàng cuối cùng, và trên mỗi cột có không quá một con quỷ. Turbo thực hiện một chuỗi các lần thử để tìm cách đi từ hàng đầu tiên tới hàng cuối cùng....