Các dạng toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
Bài viết hướng dẫn phương pháp giải các dạng toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số (GTLN – GTNN của hàm số) trong chương trình Giải tích 12 chương 1.
A. TÓM TẮT SÁCH GIÁO KHOA
Giả sử hàm số $f$ xác định trên tập hợp $X \subset R.$
a) Nếu tồn tại một điểm ${x_0} \in X$ sao cho $f(x) \le f\left( {{x_0}} \right)$ với mọi $x \in X$ thì số $M = f\left( {{x_0}} \right)$ được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số $f$ trên $X.$
Kí hiệu: $M = \mathop {\max }\limits_{x \in X} f(x).$
b) Nếu tồn tại một điểm ${x_0} \in X$ sao cho $f(x) \ge f\left( {{x_0}} \right)$ với mọi $x \in X$ thì số $m = f\left( {{x_0}} \right)$ được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số $f$ trên $X.$
Kí hiệu: $m = \mathop {\min }\limits_{x \in X} f(x).$
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Tùy theo tập hợp $X$ và hàm số $f$ ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau:
**Vấn đề 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên $X = [a; b].$
**1. PHƯƠNG PHÁP:
Nếu hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ và $f(x)$ có đạo hàm trên $(a;b)$, có thể tìm GTLN và GTNN của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[a;b]$ theo quy tắc sau:
Bước 1. Tìm các điểm ${x_i} \in (a;b)$ $(i = 1,2, \ldots )$ mà tại các điểm đó hàm số $f(x)$ có đạo hàm bằng $0.$
Bước 2. Tính các giá trị $f\left( {{x_i}} \right)$ $(i = 1,2, \ldots )$, $f(a)$ và $f(b).$
Bước 3. Số lớn nhất trong các giá trị trên là GTLN của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[a;b].$ Số nhỏ nhất trong các giá trị trên là GTNN của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[a;b].$
Chú ý: Khi bài toán không chỉ rõ tập hợp $X$ thì ta hiểu tập $X$ chính là tập xác định $D$ của hàm số.
**2. CÁC VÍ DỤ:
**Ví dụ 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số: $f(x) = {x^3} – 3x + 2$ trên đoạn $[0;2].$
Tập xác định: $D = R$, $X = [0;2].$
$f'(x) = 3{x^2} – 3.$
$f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 \in X}\\
{x = – 1 otin X}
\end{array}} \right..$
Ta có: $f(0) = 2$, $f(1) = 0$ và $f(2) = 4.$
Vì $f$ là hàm số liên tục trên $[0; 2]$ nên ta có:
$\mathop {\max }\limits_{x \in [0;2]} f(x) = 4$ đạt tại $x = 2.$
$\mathop {\min }\limits_{x \in [0;2]} f(x) = 0$ đạt tại $x = 1.$
Ví dụ 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số: $f(x) = \sqrt {x – 1} + \sqrt {9 – x} .$
Tập xác định: $D = [1;9]$, $X = D = [1;9].$
$f'(x) = \frac{1}{{2\sqrt {x – 1} }} – \frac{1}{{2\sqrt {9 – x} }}$ $ = \frac{{\sqrt {9 – x} – \sqrt {x – 1} }}{{2\sqrt {x – 1} .\sqrt {9 – x} }}.$
$f'(x) = 0$ $ \Leftrightarrow \sqrt {9 – x} = \sqrt {x – 1} $ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x – 1 \ge 0}\\
{9 – x = x – 1}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x = 5 \in X.$
Ta có: $f(1) = \sqrt 8 $, $f(5) = 4$ và $f(9) = \sqrt 8 .$
Vì $f$ là hàm số liên tục trên $[1;9]$ nên ta có:
$\mathop {\max }\limits_X f(x) = 4$ đạt tại $x = 5.$
$\mathop {\min }\limits_X f(x) = \sqrt 8 $ đạt tại $x = 1$ hay $x = 9.$
3. BÀI TẬP:
1. Tìm GTLN và GTNN của các hàm số:
a) $f(x) = \frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2} + 3x – 4$ trên $[ – 4;0].$
b) $f(x) = \frac{{2{x^2} + 5x + 4}}{{x + 2}}$ trên $[ – 1;1].$
c) $f(x) = \left| {{x^2} – 3x + 2} \right| – 3$ trên $[ – 10;10].$
d) $f(x) = x – \sin 2x$ trên $\left[ { – \frac{\pi }{2};\pi } \right].$
2. Tìm GTLN và GTNN của hàm số $y = 5\cos x – \cos 5x$ trên $\left[ { – \frac{\pi }{4}:\frac{\pi }{4}} \right].$
3. Tìm GTLN và GTNN của hàm số $y = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}$ trên $[ – 1;2].$
4. Tìm GTLN và GTNN của các hàm số:
a) $y = x + \sqrt {4 – {x^2}} .$
b) $y = x + \sqrt {12 – 3{x^2}} .$
c) $y = \sqrt {4 – {x^2}} (x + 2).$
d) $y = (3 – x)\sqrt {{x^2} + 1} $ với $x \in [0;2].$
5. Tìm GTLN và GTNN của hàm số: $y = {x^4} – 3{x^3} – 2{x^2} + 9x$ trên $[ – 2;2].$
Vấn đề 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số $f$ trên tập $X$ không là một đoạn.
1. PHƯƠNG PHÁP:
Phương pháp thường dùng để tìm GTLN và GTNN của hàm số trên một tập hợp $X e [a;b]$ ta thực hiện các bước sau:
+ Tìm tập xác định $D$ và tập $X.$
+ Tìm $y’$ và giải phương trình $y’ = 0.$
+ Tìm các giới hạn khi $x$ dần tới các điểm đầu khoảng của $X.$
+ Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập hợp $X.$
+ Dựa vào bảng biến thiên suy ra GTLN hay GTNN của hàm số trên $X.$
2. CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số $f(x) = x + \frac{1}{{x – 1}}$ trên khoảng $(1; + \infty ).$
Tập xác định: $D = R\backslash \{ 1\} $, $X = (1; + \infty ).$
$y’ = 1 – \frac{1}{{{{(x – 1)}^2}}} = \frac{{{x^2} – 2x}}{{{{(x – 1)}^2}}}.$
$y’ = 0$ $ \Leftrightarrow x = 0$ hay $x = 2.$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty $, $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = + \infty .$
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra: $\mathop {\min }\limits_X f(x) = 3$ đạt tại $x = 2.$ Hàm số không đạt giá trị lớn nhất trên $X.$
3. BÀI TẬP:
1. Tìm GTLN và GTNN của các hàm số:
a) $f(x) = \frac{{15\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{2{x^2} + x + 2}}.$
b) $y = \frac{{21\left( {{x^2} + 3} \right)}}{{{x^2} + x + 2}}.$
2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y = x + \sqrt {2{x^2} + 1} .$
Vấn đề 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số $f$ trên $X$ bằng cách dùng ẩn phụ.
1. PHƯƠNG PHÁP:
Một số hàm số là hàm số phụ thuộc biểu thức $k(x)$, ta có thể đổi biển số và thực hiện các bước sau:
Bước 1: Đặt $t = k(x).$
Bước 2: Xác định điều kiện của $t$ bằng cách tìm tập giá trị của hàm số $t = k(x)$ trên $X.$ Giả sử ta được: $x \in X \Leftrightarrow t \in T.$
Bước 3: Đưa hàm số $f(x)$ về dạng hàm số của đối số ta được $f(x) = g(t).$
Bước 4: Tìm GTLN, GTNN của $g(t)$ trên $T.$
Kết luận: $\mathop {\max }\limits_{x \in X} f(x) = \mathop {\max }\limits_{t \in T} g(t)$ và $\mathop {\min }\limits_{x \in X} f(x) = \mathop {\min }\limits_{t \in T} g(t).$
2. CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số $f(x) = \cos 2x + 2\sin x – 3$ trên $\left[ { – \frac{\pi }{6};\frac{{5\pi }}{6}} \right].$
Đặt $t = \sin x.$
Ta có: $x \in X = \left[ { – \frac{\pi }{6};\frac{{5\pi }}{6}} \right]$ $ \Leftrightarrow t \in \left[ { – \frac{1}{2};1} \right] = T.$
Khi đó: $f(x) = – 2{\sin ^2}x + 2\sin x – 2$ $ = – 2{t^2} + 2t – 2 = g(t).$
Ta có: $g'(t) = – 4t + 2.$
$g'(t) = 0$ $ \Leftrightarrow t = \frac{1}{2} \in \left[ { – \frac{1}{2};1} \right].$
$g\left( { – \frac{1}{2}} \right) = – \frac{7}{2}$, $g\left( {\frac{1}{2}} \right) = – \frac{3}{2}$ và $g(1) = – 2.$
Vậy:
$\mathop {\max }\limits_X f(x) = \mathop {\max }\limits_T g(t) = g\left( {\frac{1}{2}} \right) = – \frac{3}{2}.$
$\mathop {\min }\limits_X f(x) = \mathop {\min }\limits_T g(t) = g\left( { – \frac{1}{2}} \right) = – \frac{7}{2}.$
Ví dụ 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số $f(x) = \sqrt {5 – x} + \sqrt {x – 1} – \sqrt {(x – 1)(5 – x)} + 5.$
Tập xác định: $D = [1;5]$, $X = D.$
Đặt $t = \sqrt {5 – x} + \sqrt {x – 1} .$
Ta có: $t’ = \frac{{ – 1}}{{2\sqrt {5 – x} }} + \frac{1}{{2\sqrt {x – 1} }}$ $ = \frac{{\sqrt {5 – x} – \sqrt {x – 1} }}{{2\sqrt {x – 1} .\sqrt {5 – x} }}.$
$t’ = 0 \Leftrightarrow x = 3.$
$t(1) = 2$, $t(3) = 2\sqrt 2 $ và $t(5) = 2.$
Vậy $\mathop {\max }\limits_{[1;5]} t = 2\sqrt 2 $, $\mathop {\min }\limits_{[1;5]} t = 2.$
Do đó: $x \in [1;5]$ $ \Leftrightarrow t \in T = [2;2\sqrt 2 ].$
Khi đó ${t^2} = 4 + 2\sqrt {(5 – x)(x – 1)} $ $ \Rightarrow \sqrt {(5 – x)(x – 1)} = \frac{{{t^2} – 4}}{2}.$
Do đó: $f(x) = t – \frac{{{t^2} – 4}}{2} + 5$ $ = – \frac{1}{2}{t^2} + t + 7 = g(t).$
Ta có: $g'(t) = – t + 1$, $g'(t) = 0$ $ \Leftrightarrow t = 1 \in [2;2\sqrt 2 ].$
$g(2) = 7$, $g(1) = \frac{{15}}{2}$ và $g(2\sqrt 2 ) = 3 + 2\sqrt 2 .$
Vậy:
$\mathop {\max }\limits_X f(x) = \mathop {\max }\limits_T g(t) = g(1) = \frac{{15}}{2}.$
$\mathop {\min }\limits_X f(x) = \mathop {\min }\limits_T g(t) = g(2\sqrt 2 ) = 3 + 2\sqrt 2 .$
3. BÀI TẬP:
1. Tìm GTLN và GTNN của các hàm số:
a) $f(x) = {\cos ^2}2x – 2\sqrt 3 \sin x.\cos x + 6.$
b) $f(x) = {\sin ^4}x + {\cos ^2}x + 2.$
c) $f(x) = \frac{{9{{\sin }^2}x – \sin x + 1}}{{9{{\sin }^2}x + \sin x + 1}}$ trên $\left[ {0;\frac{\pi }{6}} \right].$
d) $f(x) = {\left( {\frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} – x + 1}}} \right)^3}$ $ – 3{\left( {\frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} – x + 1}}} \right)^2} + 10.$
e) $y = \frac{{\sin x + 1}}{{{{\sin }^2}x + \sin x + 1}}.$
2. Tìm GTLN và GTNN của các hàm số:
a) $y = \frac{{{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x}}{{{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x}}.$
b) $y = 2(1 + \sin 2x\cos 4x)$ $ – \frac{1}{2}(\cos 4x – \cos 8x).$
Vấn đề 4: Giá trị lớn nhất – nhỏ nhất và điều kiện của tham số thỏa mãn điều kiện về nghiệm của phương trình, bất phương trình.
1. PHƯƠNG PHÁP:
a) Để xác định số nghiệm của phương trình $f(x) = m$ $(1)$ trên tập hợp $X$ ta làm như sau:
+ Lập bảng biến thiên của hàm số $f(x)$ trên tập hợp $X.$
+ Dựa vào bảng biến thiên ta xác định được số giao điểm của đồ thị $(C): y = f(x)$ với đồ thị $(d): y = m.$
+ Từ đó suy ra số nghiệm của phương trình trên tập $X.$
$(1)$ có nghiệm $x \in X$ $ \Leftrightarrow (d)$ và phần đồ thị $(C)$ trên $X$ có giao điểm.
$(1)$ có $k$ nghiệm $x \in X$ $ \Leftrightarrow (d)$ và phần đồ thị $(C)$ trên $X$ có $k$ giao điểm.
b) Giả sử trên $X$ hàm số đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất.
Khi đó:
Bất phương trình $f(x) \le m$ có nghiệm $x \in X$ $ \Leftrightarrow \mathop {\min }\limits_{x \in X} f(x) \le m.$
Bất phương trình $f(x) \le m$ thỏa mãn với mọi $x \in X$ $ \Leftrightarrow \mathop {\max }\limits_{x \in X} f(x) \le m.$
Bất phương trình $f(x) < m$ có nghiệm $x \in X$ $ \Leftrightarrow \mathop {\min }\limits_{x \in X} f(x) < m.$
Bất phương trình $f(x) < m$ thỏa mãn với mọi $x \in X$ $ \Leftrightarrow \mathop {\max }\limits_{x \in X} f(x) < m.$
2. CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ 1: Tìm tham số $m$ để phương trình ${x^3} – 6{x^2} + m = 0$ $(*)$ có ba nghiệm phân biệt.
Ta có: $(*) \Leftrightarrow m = – {x^3} + 6{x^2}.$
Do đó $(*)$ là phương trình hoành độ giao điểm của $(d):y = m$ và $(C):y = – {x^3} + 6{x^2}.$
Xét hàm số $y = – {x^3} + 6{x^2}$:
Tập xác định: $D = R.$
$y’ = – 3{x^2} + 12x$, $y’ = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0 \Rightarrow y = 0}\\
{x = 4 \Rightarrow y = 32}
\end{array}} \right..$
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
$(*)$ có nghiệm ba nghiệm phân biệt thuộc $[-1;6]$ $ \Leftrightarrow (d)$ và phần đồ thị $(C)$ với $x \in [ – 1;6]$ có ba giao điểm phân biệt $ \Leftrightarrow 0 < m \le 7.$
Ví dụ 2: Tìm tham số $m$ để phương trình $x\sqrt x + \sqrt {x + 16} = m(\sqrt {25 – x} + \sqrt {9 – x} )$ $(1)$ có nghiệm.
Điều kiện: $0 \le x \le 9.$
Khi đó: $(1) \Leftrightarrow m = \frac{{x\sqrt x + \sqrt {x + 16} }}{{\sqrt {25 – x} + \sqrt {9 – x} }} = F(x).$
Ta có: $f(x) = x\sqrt x + \sqrt {x + 16} $ có $f'(x) = \frac{{3\sqrt x }}{2} + \frac{1}{{2\sqrt {x + 16} }} > 0$, $\forall x \in [0;9].$
$ \Rightarrow f(x)$ tăng trên $[0;9]$ và $f(x) > 0$, $\forall x \in [0;9].$
$g(x) = \sqrt {25 – x} + \sqrt {9 – x} $ có $g'(x) = \frac{{ – 1}}{{2\sqrt {25 – x} }} + \frac{{ – 1}}{{2\sqrt {9 – x} }} < 0$, $\forall x \in [0;9].$
$ \Rightarrow g(x)$ giảm trên $[0;9]$ và $g(x) > 0$, $\forall x \in [0;9].$
Do đó $F(x)$ là hàm số tăng trên $[0;9].$
Ta có bảng biến thiên:
Do đó $(1)$ có nghiệm $ \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le m \le 8.$
Ví dụ 3: Tìm $m$ để bất phương trình $x + \sqrt {2{x^2} + 2} > m$ $(1)$ có tập nghiệm là $R.$
Xét hàm số $f(x) = x + \sqrt {2{x^2} + 2} .$
Tập xác định: $D = R.$
$f'(x) = 1 + \frac{{4x}}{{2\sqrt {2{x^2} + 2} }}$ $ = \frac{{\sqrt {2{x^2} + 2} + 2x}}{{\sqrt {2{x^2} + 2} }}.$
$f'(x) = 0 \Leftrightarrow \sqrt {2{x^2} + 2} = – 2x$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \le 0}\\
{2{x^2} + 2 = 4{x^2}}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x = – 1.$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\left( {1 + \sqrt {2 + \frac{2}{{{x^2}}}} } \right) = + \infty .$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f(x)$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } x\left( {1 – \sqrt {2 + \frac{2}{{{x^2}}}} } \right) = + \infty .$
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta có: $(1)$ có tập nghiệm là $R$ $ \Leftrightarrow m < 1.$
Ví dụ 4: Tìm $m$ để bất phương trình $\sqrt {4x – 8} + \sqrt {16 – 4x} \le m$ $(1)$ có nghiệm.
Xét hàm số $f(x) = \sqrt {4x – 8} + \sqrt {16 – 4x} .$
Tập xác định: $D = [2;4].$
$f'(x) = \frac{4}{{2\sqrt {4x – 8} }} + \frac{{ – 4}}{{2\sqrt {16 – 4x} }}$ $ = 2.\frac{{\sqrt {16 – 4x} – \sqrt {4x – 8} }}{{\sqrt {16 – 4x} .\sqrt {4x – 8} }}.$
$f'(x) = 0$ $ \Leftrightarrow \sqrt {16 – 4x} = \sqrt {4x – 8} $ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{1}{2} \le x \le 4}\\
{16 – 4x = 4x – 8}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x = 3.$
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta có: $(1)$ có nghiệm $ \Leftrightarrow m \ge 2\sqrt 2 .$
**3. BÀI TẬP:
I. Phương trình:
**1. Cho phương trình ${\sin ^6}x + {\cos ^6}x = m\sin 2x.$ Với giá trị nào của tham số $m$ thì phương trình có nghiệm.
2. Tìm tham số $m$ để phương trình $\sqrt {1 + x} + \sqrt {3 – x} – \sqrt {(1 + x)(3 – x)} = m$ có nghiệm.
3. Cho phương trình $\sin 2x + 2\sin x = m.$ Tìm $m$ để phương trình có đúng hai nghiệm thuộc đoạn $\left[ {0;\frac{{5\pi }}{4}} \right].$
4. Tìm $m$ để phương trình $\frac{{4\sin x + 2}}{{\sin x + 2}} = m$ có đúng hai nghiệm thuộc đoạn $[0;\pi ].$
5. Cho phương trình $4\cos x.\cos 2x.\cos 3x + m$ $ = 14\left( {{{\cos }^2}x – {{\sin }^2}x} \right).$ Với giá trị nào của tham số $m$ thì phương trình có nghiệm thuộc đoạn $\left[ { – \frac{\pi }{3}; – \frac{\pi }{6}} \right].$
II. Bất phương trình:
1. Tìm $m$ để bất phương trình $m\sqrt {2{x^2} + 9} < x + m$ có nghiệm.
2. Tìm $m$ để bất phương trình $\sqrt {(1 + x)(3 – x)} \ge m + \left( {{x^2} – 2x – 3} \right)$ nghiệm đúng $\forall x \in [ – 1;3].$
3. Cho bất phương trình $x + 2m \le \sqrt {4x – {x^2}} .$ Tìm $m$ để bất phương trình có nghiệm.
4. Định $m$ để bất phương trình $mx + 2 \ge \sqrt {4x – {x^2}} $ thỏa mãn với mọi $x \in (0;4].$
