Xác định điểm hay tập hợp điểm thoả mãn đẳng thức vectơ cho trước
Bài viết hướng dẫn phương pháp giải bài toán xác định điểm hay tập hợp điểm thoả mãn đẳng thức vectơ cho trước, bên cạnh đó là một số ví dụ minh họa có lời giải chi tiết giúp bạn đọc nắm vững phương pháp giải quyết dạng toán này.
Phương pháp giải toán:
1. Xác định điểm $M$ thoả mãn một đẳng thức vectơ cho trước:
• Ta biến đổi đẳng thức vectơ cho trước về dạng $\overrightarrow {OM} = \overrightarrow v $, trong đó điểm $O$ và vectơ $\overrightarrow v $ đã biết.
• Khi đó điểm $M$ hoàn toàn xác định.
2. Xác định tập hợp điểm $M$ thoả mãn đẳng thức vectơ cho trước:
Ta có thể biến đổi đẳng thức đã cho về một trong các dạng:
• Nếu $\left| {\overrightarrow {AM} } \right| = R$ ($R$ là hằng số) thì tập hợp các điểm $M$ là đường tròn tâm $A$, bán kính $R$ nếu $R > 0$; $M ≡ A$ nếu $R = 0$; là tập rỗng nếu $R <0.$
• Nếu $\left| {\overrightarrow {MA} } \right| = k\left| {\overrightarrow {BC} } \right|$ ($A$, $B$, $C$ cho trước) thì tập hợp điểm $M$ là đường tròn tâm $A$, bán kính bằng $k.BC.$
• Nếu $\left| {\overrightarrow {MA} } \right| = \left| {\overrightarrow {MB} } \right|$ với $A$, $B$ cho trước thì $M$ thuộc đường trung trực của đoạn $AB.$
• Nếu $\overrightarrow {MA} = k\overrightarrow {BC} $ ($A$, $B$, $C$ cho trước) thì tập hợp điểm $M$ là:
+ Đường thẳng qua $A$ song song với $BC$ nếu $k ∈ R.$
+ Nửa đường thẳng qua $A$ song song với $BC$ theo hướng $\overrightarrow {BC} $ với $k ∈ R^+ .$
+ Nửa đường thẳng qua $A$ song song với $BC$ theo hướng ngược với $\overrightarrow {BC} $ với $k ∈ R^- .$
3. Xác định tập hợp điểm thỏa mãn đẳng thức của tích vô hướng:
Ta có thể biến đổi đẳng thức tích vô hướng đã cho về một trong các dạng (ngoài những trường hợp trên):
• Nếu $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = 0$ ($A$, $B$ cố định) thì $M$ thuộc đường tròn đường kính $АВ.$
• Nếu $\overrightarrow {MH} .\overrightarrow {AB} = 0$ ($H$ cố định, $\overrightarrow {AB} $ vectơ không đổi) thì tập hợp $M$ là đường thẳng $Δ$ qua $H$ vuông góc $AB.$
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Cho tam giác $ABC.$
a) Xác định điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \vec 0.$
b) Xác định điểm $N$ thỏa mãn $\overrightarrow {NA} – 2\overrightarrow {NB} + 3\overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 .$
c) Xác định điểm $P$ thỏa mãn $\overrightarrow {CP} = \overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} – 3\overrightarrow {KC} $ (với $K$ là điểm tùy ý).
a) Gọi $I$ là trung điểm của $AB$, $J$ là trung điểm của $CI.$
Ta có: $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \vec 0$ $ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MI} + 2\overrightarrow {MC} = \vec 0$ $ \Leftrightarrow 4\overrightarrow {MJ} = \vec 0 .$
Do đó: $J \equiv M.$
b) Gọi $E$ là trung điểm của $AC.$
Ta có: $\overrightarrow {NA} – 2\overrightarrow {NB} + 3\overrightarrow {NC} = \vec 0$ $ \Leftrightarrow (\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {CA} )$ $ – 2(\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {CB} )$ $ + 3\overrightarrow {NC} = \vec 0$ $ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {CA} – 2\overrightarrow {CB} = \overrightarrow 0 $ $ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {CN} = \overrightarrow {CA} – 2\overrightarrow {CB} $ $ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {CN} = (\overrightarrow {BA} – \overrightarrow {BC} ) + 2\overrightarrow {BC} $ $ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {CN} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} $ $ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {CN} = 2\overrightarrow {BE} $ hay $ \overrightarrow {CN} = \overrightarrow {BE} .$
c) Ta có: $\overrightarrow {CP} = \overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} – 3\overrightarrow {KC} $ $ = \overrightarrow {KC} + \overrightarrow {CA} + 2(\overrightarrow {KC} + \overrightarrow {CB} ) – 3\overrightarrow {KC} $ $ = \overrightarrow {CA} + 2\overrightarrow {CB} .$
Vì $A$, $B$, $C$ cho trước nên $\overrightarrow a = \overrightarrow {CA} + 2\overrightarrow {CB} $ xác định. Vậy tập hợp điểm $P$ thỏa mãn $\overrightarrow {CP} = \overrightarrow {CA} + 2\overrightarrow {CB} .$
Ví dụ 2: Cho tam giác đều $ABC$ cạnh $a.$
a) Tìm tập hợp điểm $M$ thỏa mãn $M{B^2} + 2M{C^2} = k.$
b) Tìm tập hợp điểm $N$ thỏa mãn $\overrightarrow {NA} .\overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NB} .\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {NC} .\overrightarrow {NA} = \frac{{5{a^2}}}{2}.$
Ta có: $M{B^2} + 2M{C^2} = k$ $ \Leftrightarrow {\overrightarrow {MB} ^2} + 2{\overrightarrow {MC} ^2} = k$ $ \Leftrightarrow {(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} )^2} + 2(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} ) = k$ $ \Leftrightarrow 3M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} (\overrightarrow {IB} + 2\overrightarrow {IC} )$ $ + I{B^2} + 2I{C^2} = k.$
Gọi $I$ là điểm sao cho $\overrightarrow {IB} + 2\overrightarrow {IC} = \vec 0$ và $IC = \frac{a}{3}$, $IB = \frac{{2a}}{3}.$
Khi đó: $ – 3M{I^2} = I{B^2} + 2I{C^2} – k.$
Suy ra: $M{I^2} = \frac{{3k – 2{a^2}}}{9}.$
Vậy:
+ Nếu $3k – 2{a^2} < 0$ $ \Leftrightarrow k < \frac{2}{3}{a^2}$, khi đó tập hợp điểm $M$ là tập rỗng.
+ Nếu $3k – 2{a^2} = 0$ $ \Leftrightarrow k = \frac{2}{3}{a^2}$, khi đó $M \equiv I.$
+ Nếu $3k – 2{a^2} > 0$ $ \Leftrightarrow k > \frac{2}{3}{a^2}$, khi đó tập hợp $M$ là đường tròn tâm $I$, bán kính $R = \frac{1}{3}\sqrt {3k – 2{a^2}} .$
b) Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC.$
Ta có: $\overrightarrow {NA} + \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = 3\overrightarrow {NG} .$
Suy ra: $N{A^2} + N{B^2} + N{C^2}$ $ + 2(\overrightarrow {NA} .\overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NB} .\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {NC} .\overrightarrow {NA} )$ $ = 9N{G^2}.$
Khi đó: $\overrightarrow {NA} .\overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NB} .\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {NC} .\overrightarrow {NA} $ $ = \frac{{9N{G^2} – \left( {N{A^2} + N{B^2} + N{C^2}} \right)}}{2}.$
Mặt khác: $\overrightarrow {NA} = \overrightarrow {NG} + \overrightarrow {GA} $ $ \Rightarrow N{A^2} = N{G^2} + G{A^2} + 2\overrightarrow {NG} .\overrightarrow {GA} .$
Tương tự:
$N{B^2} = N{G^2} + G{B^2} + 2\overrightarrow {NG} .\overrightarrow {GB} .$
$N{C^2} = N{G^2} + G{C^2} + 2\overrightarrow {NG} .\overrightarrow {GC} .$
Suy ra: $N{A^2} + N{B^2} + N{C^2}$ $ = 3N{G^2} + 3G{A^2}$ $ + 2\overrightarrow {NG} (\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} )$ (vì $GA = GB = GC$) $ = 3N{G^2} + 3{\left( {\frac{2}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)^2}$ $ = 3N{G^2} + {a^2}.$
Từ đó: $\overrightarrow {NA} .\overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NB} .\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {NC} .\overrightarrow {NA} $ $ = \frac{{9N{G^2} – 3N{G^2} – {a^2}}}{2}$ $ = 3N{G^2} – \frac{{{a^2}}}{2}.$
Mà $\overrightarrow {NA} .\overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NB} .\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {NC} .\overrightarrow {NA} = \frac{{5{a^2}}}{2}.$
Nên $3N{G^2} – \frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{5{a^2}}}{2}$ $ \Rightarrow N{G^2} = {a^2}$ hay $GN = a.$
Vậy tập hợp điểm $N$ là đường tròn tâm $G$ bán kính là $a.$
Ví dụ 3: Cho tứ giác $ABCD.$
a) Xác định điểm $O$ sao cho $\overrightarrow {OB} + 4\overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow {OD} .$
b) Tìm tập hợp điểm $M$ thỏa mãn hệ thức $\left| {\overrightarrow {MB} + 4\overrightarrow {MC} – 2\overrightarrow {MD} } \right| = \left| {3\overrightarrow {MA} } \right|.$
a) Ta có: $\overrightarrow {OB} + 4\overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow {OD} $ $ \Leftrightarrow \overrightarrow {OB} + 4(\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {BC} )$ $ = 2(\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {BD} )$ $ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {OB} = 2\overrightarrow {BD} – 4\overrightarrow {BC} $ $ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {OB} = 2(\overrightarrow {BD} – \overrightarrow {BC} ) – 2\overrightarrow {BC} $ $ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {OB} = 2\overrightarrow {CD} + 2\overrightarrow {CB} $ $ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {OB} = 4\overrightarrow {CI} $ ($I$ là trung điểm $BO$) $ \Leftrightarrow \overrightarrow {OB} = \frac{4}{3}\overrightarrow {CI} .$
Vậy $O$ là đỉnh của hình bình hành $IBON$ với: $\overrightarrow {IN} = \frac{4}{3}\overrightarrow {IC} .$
b) Ta có: $\left| {\overrightarrow {MB} + 4\overrightarrow {MC} – 2\overrightarrow {MD} } \right| = \left| {3\overrightarrow {MA} } \right|$ $ \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} + 4(\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OC} ) – 2(\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OD} )} \right|$ $ = \left| {3\overrightarrow {MA} } \right|$ $ \Leftrightarrow \left| {3\overrightarrow {MO} } \right| = \left| {3\overrightarrow {MA} } \right|$ vì $\overrightarrow {OB} + 4\overrightarrow {OC} – 2\overrightarrow {OD} = \vec 0.$
Do đó: $\left| {\overrightarrow {MO} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} } \right|$ $ \Leftrightarrow MO = MA.$
Vậy tập hợp $M$ là đường trung trực của đoạn thẳng $OA.$
Ví dụ 4: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A.$ Điểm $M$ bất kỳ nằm trong tam giác có hình chiếu xuống $BC$, $CA$, $AB$ theo thứ tự là $D$, $E$, $F.$
a) Tìm tập hợp điểm $M$ biết rằng $\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} $ cùng phương với $\overrightarrow {BC} .$
b) Tìm tập hợp các điểm $M$ biết rằng $\left| {\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} } \right|.$
a)
Ta có: $\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MA} .$
Gọi $I$ là trung điểm của $AD.$
Khi đó $\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MA} = 2\overrightarrow {MI} .$
Vậy $\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = 2\overrightarrow {MI} .$
Để $\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} $ cùng phương với $\overrightarrow {BC} $ thì $\overrightarrow {MI} $ cùng phương $\overrightarrow {BC} .$
Suy ra: $\overrightarrow {MI} $ cùng phương $\overrightarrow {PQ} $ (với $PQ$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ song song với cạnh $BC$).
Do đó tập hợp $M$ là đoạn $PQ.$
b)
Gọi $M’$ là điểm trên đường cao $AH$ sao cho $AM’ = MD$, tức là $AMDM’$ là hình bình hành.
Ta có: $\left| {\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} } \right|$ $ = \left| {\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MA} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} } \right|.$
Suy ra: $\left| {\overrightarrow {MM’} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} } \right| = \left| {\overrightarrow {M’D} } \right|.$
Dễ thấy $MD = \frac{2}{3}AH.$
Vậy $M$ nằm trên đường thẳng song song với $BC$, cách $BC$ một khoảng bằng $\frac{2}{3}AH$ nhưng trừ những điểm nằm phía ngoài tam giác $ABC.$
Ví dụ 5: Cho điểm $A$, $B$ cố định với $AB = a.$
a) Tìm tập hợp điểm $M$ sao cho ${\overrightarrow {MA} ^2} + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {AB} = {a^2}.$
b) Tìm tập hợp điểm $N$ thỏa: $N{A^2} + 2N{B^2} = k$ ($k$ là hằng số thực dương).
a) Ta có: ${\overrightarrow {MA} ^2} + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {AB} = {a^2}$ $ \Leftrightarrow {\overrightarrow {MA} ^2} + (\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} ).\overrightarrow {AB} = {a^2}$ $ \Leftrightarrow {\overrightarrow {MA} ^2} + \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {AB} + {\overrightarrow {AB} ^2} = {a^2}$ $ \Leftrightarrow {\overrightarrow {MA} ^2} + \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {AB} = 0$ $ \Leftrightarrow \quad \overrightarrow {MA} .(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} ) = 0$ $ \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = 0.$
Vậy tập hợp điểm $M$ là đường tròn đường kính $AB.$
b) Gọi $I$ là điểm sao cho $\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} = \vec 0$, vì $A$, $B$ cố định nên $I$ cố định.
Ta có: $N{A^2} + 2N{B^2} = k$ $ \Leftrightarrow {\overrightarrow {NA} ^2} + 2{\overrightarrow {NB} ^2} = k$ $ \Leftrightarrow {(\overrightarrow {NI} + \overrightarrow {IA} )^2} + 2{(\overrightarrow {NI} + \overrightarrow {IB} )^2} = k$ $ \Leftrightarrow N{I^2} + 2\overrightarrow {NI} .\overrightarrow {IA} + I{A^2}$ $ + 2N{I^2} + 4\overrightarrow {NI} .\overrightarrow {IB} + 2I{B^2} = k$ $ \Leftrightarrow 3N{I^2} + 2\overrightarrow {NI} (\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} )$ $ + I{A^2} + 2I{B^2} = k$ $ \Leftrightarrow 3N{I^2} = {k^2} – \left( {I{A^2} + 2I{B^2}} \right)$ $ \Leftrightarrow N{I^2} = \frac{1}{3}\left( {{k^2} – 6I{B^2}} \right)$ $N{I^2} = \frac{1}{3}\left( {{k^2} – \frac{{2{a^2}}}{3}} \right)$ (vì $IB = \frac{1}{3}AB$).
Vậy:
+ Nếu $k^2 > \frac{{2{a^2}}}{3}$ thì tập hợp điểm $N$ là đường tròn tâm $I$, bán kính $R = \sqrt {\frac{1}{3}\left( {{k^2} – \frac{{2{a^2}}}{3}} \right)} .$
+ Nếu $k^2 = \frac{{2{a^2}}}{3}$ thì tập hợp điểm $N$ chính là $I.$
+ Nếu $k^2 < \frac{{2{a^2}}}{3}$ thì tập hợp điểm $N$ là tập rỗng.
Ví dụ 6: Cho tam giác $ABC$ đều cạnh bằng $a.$
a) Tìm tập hợp điểm $M$ thỏa $(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} )(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} ) = 0.$
b) Tìm tập hợp điểm $N$ thỏa $N{A^2} + N{B^2} + N{C^2} = 4{a^2}.$
c) Tìm tập hợp điểm $P$ thỏa $3P{A^2} = 2P{B^2} + P{C^2}.$
a) Gọi $I$ là trung điểm của $AB$, $J$ là trung điểm của $AC$, ta có $I$, $J$ cố định.
Ta có: $(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} )(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} ) = 0$ $ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MI} .2\overrightarrow {MJ} = 0$ $ \Leftrightarrow \overrightarrow {MI} .\overrightarrow {MJ} = 0.$
Vậy tập hợp điểm $M$ là đường tròn đường kính $IJ.$
b) Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC.$
Ta có: $N{A^2} + N{B^2} + N{C^2} = 4{a^2}$ $ \Leftrightarrow {(\overrightarrow {NG} + \overrightarrow {GA} )^2} + {(\overrightarrow {NG} + \overrightarrow {BG} )^2}$ $ + {(\overrightarrow {NG} + \overrightarrow {GC} )^2} = 4{a^2}$ $ \Leftrightarrow 3N{G^2} + \overrightarrow {NG} (\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} )$ $ + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} = 4{a^2}$ $ \Leftrightarrow 3N{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} = 4{a^2}.$
Trong đó: $GA = GB = GC$ $ = \frac{2}{3}\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.$
Vậy $3N{G^2} = 3{a^2} \Leftrightarrow N{G^2} = {a^2}.$
Do đó tập hợp điểm $N$ là đường tròn tâm $G$ bán kính bằng $a.$
c) Ta có: $3P{A^2} = 2P{B^2} + P{C^2}$ $ \Leftrightarrow 3{(\overrightarrow {PG} + \overrightarrow {GA} )^2}$ $ = 2{(\overrightarrow {PG} + \overrightarrow {GB} )^2} + {(\overrightarrow {PG} + \overrightarrow {GC} )^2}$ $ \Leftrightarrow 3P{G^2} + 6\overrightarrow {PG} .\overrightarrow {GA} + 3G{A^2}$ $ = 2P{G^2} + 4\overrightarrow {PG} .\overrightarrow {GB} + 2G{B^2}$ $ + P{G^2} + 2\overrightarrow {PG} .\overrightarrow {GC} + G{C^2}$ $ \Leftrightarrow 6\overrightarrow {PG} .\overrightarrow {GA} – 4\overrightarrow {PG} .\overrightarrow {GB} – 2\overrightarrow {PG} .\overrightarrow {GC} = 0$ $ \Leftrightarrow \overrightarrow {PG} (3\overrightarrow {GA} – 2\overrightarrow {GB} – \overrightarrow {GC} ) = 0.$
Mặt khác: $3\overrightarrow {GA} – 2\overrightarrow {GB} – \overrightarrow {GC} $ $ = 3\overrightarrow {GA} – 2(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AB} ) – (\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AC} )$ $ = – (2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} ).$
Gọi $H$ là điểm sao cho $2\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = 0.$
Khi đó $2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} $ $ = 2(\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {HB} ) + (\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {HC} )$ $ = 3\overrightarrow {AH} .$
Suy ra đẳng thức đã cho trở thành $\overrightarrow {PG} .\overrightarrow {3AH} = 0$ $ \Leftrightarrow \overrightarrow {PG} .\overrightarrow {AH} = 0.$
Vậy tập hợp điểm $P$ là đường thẳng qua $G$ và vuông góc với $AH.$
