Tìm hệ số của số hạng chứa ${x^h}$ trong khai triển nhiều hạng tử

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải bài toán tìm hệ số của số hạng chứa ${x^h}$ trong khai triển nhiều hạng tử (ba hạng tử, bốn hạng tử …), đây là dạng toán thường gặp trong chương trình Đại số và Giải tích 11: Tổ hợp và Xác suất.

Bài 1: Tìm hệ số của ${x^6}$ trong khai triển ${\left[ {1 + {x^2}(1 + x)} \right]^7}.$

Lời giải:
Ta có: ${\left[ {1 + {x^2}(1 + x)} \right]^7}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} {x^{2k}}{(1 + x)^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} {\left( {{x^2} + {x^3}} \right)^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^7 {\sum\limits_{h = 0}^k {C_7^k} } C_k^h{x^{2k + h}}.$
Số hạng tổng quát trong khai triển là: $C_7^kC_k^h{x^{2k + h}}.$
Để có hệ số của số hạng chứa ${x^6}$ chọn $k$, $h$ thỏa mãn: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2k + h = 6}\\
{h \le k}\\
{k = \overline {0..7} }
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{h = 0}\\
{k = 3}
\end{array}} \right.}\\
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{h = 2}\\
{k = 2}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right..$
Vậy hệ số của số hạng chứa ${x^6}$ là: $C_7^3C_3^0 + C_7^2C_2^2 = 56.$

Bài 2: Tìm hệ số của ${x^4}$ trong khai triển ${\left( {1 + 2x + 3{x^2}} \right)^{10}}.$

Lời giải:
Ta có: ${\left( {1 + 2x + 3{x^2}} \right)^{10}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {\left( {2x + 3{x^2}} \right)^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} \sum\limits_{h = 0}^k {C_k^h} {(2x)^{k – h}}{\left( {3{x^2}} \right)^h}.$
$ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {\sum\limits_{h = 0}^k {C_{10}^k} } C_k^h{2^{k – h}}{3^h}{x^{k + h}}.$
Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{10}^kC_k^h{2^{k – h}}{3^h}{x^{k + h}}.$
Để có hệ số của số hạng chứa ${x^4}$ chọn $k$, $h$ thỏa mãn: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{k + h = 4}\\
{h \le k}\\
{k = \overline {0..10} }
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow (k;h) \in \{ (4;0);(3;1);(2;2)\} .$
Vậy hệ số của số hạng chứa ${x^4}$ trong khai triển là:
$C_{10}^4C_4^0{2^4} + C_{10}^3C_3^1{2^2}.3 + C_{10}^2C_2^2{3^2} = 8085.$
Cách khác:
Ta có: ${\left( {1 + 2x + 3{x^2}} \right)^{10}}$ $ = {[1 + x(2 + 3x)]^{10}}$ $ = C_{10}^0$ $ + C_{10}^1x(2 + 3x)$ $ + C_{10}^2{x^2}{(2 + 3x)^2}$ $ + C_{10}^3{x^3}{(2 + 3x)^3}$ $ + C_{10}^4{x^4}{(2 + 3x)^4}$ $ + C_{10}^5{x^5}{(2 + 3x)^5}$ $ + \ldots + C_{10}^{10}{x^{10}}{(2 + 3x)^{10}}.$
Ta nhận thấy rằng số mũ của $x$ trong khai triển tăng dần, và ${x^4}$ chỉ chứa trong số hạng thứ $2$, thứ $3$, thứ $4$ trong khai triển trên.
Từ đó ta phân tích các khai triển: $C_{10}^2{x^2}{(2 + 3x)^2}$ $ = C_{10}^2C_2^0{2^2}{x^2}$ $ + C_{10}^2C_2^12.3{x^3}$ $ + C_{10}^2C_2^2{3^2}{x^4}.$
$C_{10}^3{x^3}{(2 + 3x)^3}$ $ = C_{10}^3C_3^0{2^3}{x^3}$ $ + C_{10}^3C_3^1{2^2}.3{x^4}$ $ + C_{10}^3C_3^2{2.3^2}{x^5}$ $ + C_{10}^3C_3^3{3^3}{x^6}.$
$C_{10}^4{x^4}{(2 + 3x)^4}$ $ = C_{10}^4C_4^0{2^4}{x^4}$ $ + C_{10}^4C_4^1{2^3}.3{x^5}$ $ + \ldots + C_{10}^4C_4^4{3^4}{x^8}.$
Vậy hệ số của số hạng chứa ${x^4}$ trong khai triển là:
$C_{10}^4C_4^0{2^4}$ $ + C_{10}^3C_3^1{2^2}.3$ $ + C_{10}^2C_2^2{3^2}$ $ = 8085.$

Bài 3: Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển: ${\left( {1 + 2x – \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^9}.$

Lời giải:
Ta có: ${\left( {1 + 2x – \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^9}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k} {\left( {2x – \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k} \sum\limits_{h = 0}^k {C_k^h} {(2x)^{k – h}}{\left( { – \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^h}.$
$ = \sum\limits_{k = 0}^9 {\sum\limits_{h = 0}^k {C_9^k} } C_k^h{(2)^{k – h}}{( – 1)^h}{x^{k – 3h}}.$
Số hạng tổng quát trong khai triển là: $C_9^kC_k^h{(2)^{k – h}}{( – 1)^h}{x^{k – 3h}}.$
Để có số hạng không chứa $x$, ta chọn $k$, $h$ thỏa mãn:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{k – 3h = 0}\\
{h \le k}\\
{k = \overline {0..9} }
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow (k;h) \in \{ (3;1);(6;2);(9;3)\} .$
Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển là: $C_9^3C_3^1{(2)^2}{( – 1)^1}$ $ + C_9^6C_6^2{(2)^4}{( – 1)^2}$ $ + C_9^9C_9^3{(2)^6}{( – 1)^3}$ $ = 14122.$

Bài 4: Tìm số hạng chứa $\frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}$ trong khai triển ${\left( {1 – 2\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}} \right)^7}.$

Lời giải:
Ta có: ${\left( {1 – 2\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}} \right)^7}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} {\left( { – 2\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}} \right)^k}.$
$ = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} \sum\limits_{h = 0}^k {C_k^h} {\left( { – 2{x^{\frac{1}{2}}}} \right)^{k – h}}{\left( {{x^{ – \frac{2}{3}}}} \right)^h}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^7 {\sum\limits_{h = 0}^k {C_7^k} } C_k^h{( – 2)^{k – h}}{x^{\frac{{3k – 7h}}{6}}}.$
Số hạng tổng quát trong khai triển là: $C_7^kC_k^h{( – 2)^{k – h}}{x^{\frac{{3k – 7h}}{6}}}.$
Để có số hạng chứa $\frac{1}{{\sqrt[3]{x}}} = {x^{ – \frac{1}{3}}}$, ta chọn $k$, $h$ thỏa mãn:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{3k – 7h}}{6} = – \frac{1}{3}}\\
{h \le k}\\
{k = \overline {0..7} }
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{3k – 7h = – 2}\\
{h \le k}\\
{k = \overline {0..7} }
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{k = 4}\\
{h = 2}
\end{array}} \right..$
Vậy số hạng chứa $\frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}$ trong khai triển là: $C_7^4C_4^2{( – 2)^2}{x^{\frac{{ – 1}}{3}}} = \frac{{840}}{{\sqrt[3]{x}}}.$

Bài 5: Khai triển $f(x) = {\left( {1 + x + {x^2} + {x^3}} \right)^5}$ và viết lại dưới dạng: $f(x) = {a_0} + {a_1}x + \ldots + {a_{15}}{x^{15}}.$ Tính ${a_9}.$

Lời giải:
Ta có: $f(x) = {\left( {1 + x + {x^2} + {x^3}} \right)^5}$ $ = {(1 + x)^5}{\left( {1 + {x^3}} \right)^5}.$
$ = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k} {x^k}.\sum\limits_{l = 0}^5 {C_5^l} {\left( {{x^3}} \right)^l}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^5 {\sum\limits_{l = 0}^5 {C_5^k} } C_5^l{x^{k + 3l}}.$
Số hạng tổng quát trong khai triển là: $C_5^kC_5^l{x^{k + 3l}}.$
Nhận thấy ${a_9}$ chính là hệ số của số hạng chứa ${x^9}$ trong khai triển, vì vậy chọn $k$, $l$ thỏa mãn: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{k + 3l = 9}\\
{k,l = \overline {0..5} }
\end{array}} \right..$
Suy ra: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{l = \frac{{9 – k}}{3}}\\
{k,l = \overline {0..5} }
\end{array}} \right.$, do đó: $k \vdots 3$ $ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{k = 0 \Rightarrow l = 3}\\
{k = 3 \Rightarrow l = 2}
\end{array}} \right..$
Vậy có hai cặp số $(k,l)$ thỏa mãn.
Suy ra hệ số của số hạng chứa ${x^9}$ trong khai triển là: $C_5^3C_5^2 + C_5^0C_5^3 = 110.$

Bài 6: Giả sử ${\left( {1 + x + {x^2} + {x^3}} \right)^5}$ có khai triển thành đa thức: ${a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + \ldots + {a_{15}}{x^{15}}.$ Tính ${a_0} – {a_1} + {a_2} – {a_3} + \ldots – {a_{15}}.$

Lời giải:
Ta có: ${\left( {1 + x + {x^2} + {x^3}} \right)^5}$ $ = {\left[ {(1 + x)\left( {1 + {x^2}} \right)} \right]^5}$ $ = {(1 + x)^5}{\left( {1 + {x^2}} \right)^5}.$
$ = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k} {x^k}\sum\limits_{h = 0}^5 {C_5^h} {x^{2h}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^5 {\sum\limits_{h = 0}^5 {C_5^k} } C_5^h{x^{k + 2h}}.$
Chọn $x = -1$, ta được:
${a_0} – {a_1} + {a_2} – {a_3} + \ldots – {a_{15}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^5 {\sum\limits_{h = 0}^5 {C_5^k} } C_5^h{( – 1)^{k + 2h}}$ $ = \left( {1 – 1 + {1^2} + {{( – 1)}^3}} \right) = 0.$
Vậy ${a_0} – {a_1} + {a_2} – {a_3} + \ldots – {a_{15}} = 0.$

Bài 7: Trong khai triển ${(x + y + z)^n}$, tìm số hạng chứa ${x^k}{y^m}{z^{n – k – m}}$ $(k,m < n).$

Lời giải:
Ta có: ${(x + y + z)^n}$ $ = {[(y + z) + x]^n}$ $ = C_n^0{(y + z)^n}$ $ + C_n^1x{(y + z)^{n – 1}}$ $ + C_n^2{x^2}{(y + z)^{n – 2}}$ $ + \ldots + C_n^k{x^k}{(y + z)^{n – k}}$ $ + \ldots + C_n^n{x^n}.$
Do đó số hạng chứa ${x^k}{y^m}{z^{n – k – m}}$ nằm trong khai triển $C_n^k{x^k}{(y + z)^{n – k}}.$
Mặt khác ta có: ${(y + z)^{n – k}}$ $ = C_{n – k}^0{z^{n – k}}$ $ + C_{n – k}^1y{z^{n – k – 1}}$ $ + C_{n – k}^2{y^2}{z^{n – k – 2}}$ $ + \ldots + C_{n – k}^m{y^m}{z^{n – k – m}}$ $ + \ldots + C_{n – k}^{n – k}{y^{n – k}}.$
Do đó số hạng chứa ${x^k}{y^m}{z^{n – k – m}}$ trong khai triển là: $C_n^kC_{n – k}^m{x^k}{y^m}{z^{n – k – m}}.$

Bài 8: Trong khai triển ${\left( {2{x^3} + 2{x^2} + x + 1} \right)^{10}}$, tìm số hạng chứa ${x^5}.$

Lời giải:
Ta có: ${\left( {2{x^3} + 2{x^2} + x + 1} \right)^{10}}$ $ = {\left[ {(1 + x)\left( {1 + 2{x^2}} \right)} \right]^{10}}$ $ = {(1 + x)^{10}}{\left( {1 + 2{x^2}} \right)^{10}}.$
$ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^k}\sum\limits_{h = 0}^{10} {C_{10}^h} {2^{2h}}{x^{2h}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {\sum\limits_{h = 0}^{10} {C_{10}^k} } C_{10}^h{2^{2h}}{x^{k + 2h}}.$
Số hạng tổng quát trong khai triển là: $C_{10}^kC_{10}^h{2^{2h}}{x^{k + 2h}}.$
Để có số hạng chứa ${x^5}$, ta chọn $k$, $h$ sao cho:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{k + 2h = 5}\\
{h,k = \overline {0..10} }
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow (k;h) \in \{ (1;2);(3;1)\} .$
Vậy số hạng chứa ${x^5}$ trong khai triển là: $C_{10}^1C_{10}^2{2^4}{x^5} + C_{10}^3C_{10}^1{2^2}{x^5}$ $ = 12000{x^5}.$