Vectơ và các định nghĩa

Bài viết trình bày lý thuyết và hướng dẫn phương pháp giải một số dạng toán cơ bản về vectơ và các định nghĩa liên quan.

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa vectơ
Vectơ là đoạn thẳng có hướng, nghĩa là trong hai điểm mút của đoạn thẳng đã chỉ rõ điểm nào là điểm đầu, điểm nào là điểm cuối.
Vectơ có điểm đầu là $A$, điểm cuối là $B$ ta kí hiệu: $\overrightarrow {AB} .$
Vectơ còn được kí hiệu là: $\vec a$, $\vec b$, $\vec x$, $\vec y$ ….
Vectơ – không là vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối. Kí hiệu là $\vec 0.$

2. Hai vectơ cùng phương, cùng hướng
Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ gọi là giá của vectơ.
Hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau gọi là hai vectơ cùng phương.
Hai vectơ cùng phương thì hoặc cùng hướng hoặc ngược hướng.

Ví dụ: Ở hình vẽ trên trên thì hai vectơ $\overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {CD} $ cùng hướng còn $\overrightarrow {EF} $ và $\overrightarrow {HG} $ ngược hướng.
Đặc biệt: Vectơ – không cùng hướng với mọi vectơ.

3. Hai vectơ bằng nhau
Độ dài đoạn thẳng $AB$ gọi là độ dài vectơ $\overrightarrow {AB} $, kí hiệu $\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.$
Vậy $\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB.$
Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.
Ví dụ: Cho hình bình hành $ABCD$ khi đó $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} .$

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH MỘT VECTƠ, PHƯƠNG VÀ HƯỚNG CỦA VECTƠ, ĐỘ DÀI CỦA VECTƠ.
1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Xác định một vectơ và xác định sự cùng phương, cùng hướng của hai vectơ theo định nghĩa.
Dựa vào các tính chất hình học của các hình đã cho biết để tính độ dài của một vectơ.

2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Cho tứ giác $ABCD.$ Có bao nhiêu vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của tứ giác.

Hai điểm phân biệt, chẳng hạn $A$, $B$ ta xác định được hai vectơ khác vectơ-không là $\overrightarrow {AB} $, $\overrightarrow {BA} .$ Mà từ bốn đỉnh $A$, $B$, $C$, $D$ của tứ giác ta có $6$ cặp điểm phân biệt do đó có $12$ vectơ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng ba điểm $A$, $B$, $C$ phân biệt thẳng hàng khi và chỉ khi $\overrightarrow {AB} $, $\overrightarrow {AC} $ cùng phương.

Nếu $A$, $B$, $C$ thẳng hàng suy ra giá của $\overrightarrow {AB} $, $\overrightarrow {AC} $ đều là đường thẳng đi qua ba điểm $A$, $B$, $C$ nên $\overrightarrow {AB} $, $\overrightarrow {AC} $ cùng phương.
Ngược lại nếu $\overrightarrow {AB} $, $\overrightarrow {AC} $ cùng phương khi đó đường thẳng $AB$ và $AC$ song song hoặc trùng nhau. Nhưng hai đường thẳng này cùng đi qua điểm $A$ nên hai đường thẳng $AB$ và $AC$ trùng nhau hay ba điểm $A$, $B$, $C$ thẳng hàng.

Ví dụ 3: Cho tam giác $ABC.$ Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm của $BC$, $CA$, $AB.$
a) Xác định các vectơ khác vectơ-không cùng phương với $\overrightarrow {MN} $ có điểm đầu và điểm cuối lấy trong điểm đã cho.
b) Xác định các vectơ khác vectơ-không cùng hướng với $\overrightarrow {AB} $ có điểm đầu và điểm cuối lấy trong điểm đã cho.
c) Vẽ các vectơ bằng vectơ $\overrightarrow {NP} $ mà có điểm đầu $A$, $B.$

a) Các vectơ khác vectơ-không cùng phương với $\overrightarrow {MN} $ là:
$\overrightarrow {NM} $, $\overrightarrow {AB} $, $\overrightarrow {BA} $, $\overrightarrow {AP} $, $\overrightarrow {PA} $, $\overrightarrow {BP} $, $\overrightarrow {PB} .$
b) Các vectơ khác vectơ-không cùng hướng với $\overrightarrow {AB} $ là:
$\overrightarrow {AP} $, $\overrightarrow {PB} $, $\overrightarrow {NM} .$
c) Trên tia $CB$ lấy điểm $B’$ sao cho $BB’ = NP.$
Khi đó ta có $\overrightarrow {BB’} $ là vectơ có điểm đầu là $B$ và bằng vectơ $\overrightarrow {NP} .$
Qua $A$ dựng đường thẳng song song với đường thẳng $NP.$ Trên đường thẳng đó lấy điểm $A’$ sao cho $\overrightarrow {AA’} $ cùng hướng với $\overrightarrow {NP} $ và $AA’ = NP.$
Khi đó ta có $\overrightarrow {AA’} $ là vectơ có điểm đầu là $A$ và bằng vectơ $\overrightarrow {NP} .$

Ví dụ 4: Cho hình vuông $ABCD$ tâm $O$ cạnh $a.$ Gọi $M$ là trung điểm của $AB$, $N$ là điểm đối xứng với $C$ qua $D.$ Hãy tính độ dài của vectơ sau: $\overrightarrow {MD} $, $\overrightarrow {MN} .$

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông $MAD$ ta có:
$D{M^2} = A{M^2} + A{D^2}$ $ = {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} + {a^2} = \frac{{5{a^2}}}{4}$ $ \Rightarrow DM = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}.$
Suy ra $\left| {\overrightarrow {MD} } \right| = MD = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}.$
Qua $N$ kẻ đường thẳng song song với $AD$ cắt $AB$ tại $P.$
Khi đó tứ giác $ADNP$ là hình vuông và $PM = PA + AM$ $ = a + \frac{a}{2} = \frac{{3a}}{2}.$
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông $NPM$ ta có:
$M{N^2} = N{P^2} + P{M^2}$ $ = {a^2} + {\left( {\frac{{3a}}{2}} \right)^2} = \frac{{13{a^2}}}{4}$ $ \Rightarrow MN = \frac{{a\sqrt {13} }}{2}.$
Suy ra $\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = MN = \frac{{a\sqrt {13} }}{2}.$

3. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Cho ngũ giác $ABCDE.$ Có bao nhiêu vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của ngũ giác.

Hai điểm phân biệt, chẳng hạn $A$, $B$ ta xác định được hai vectơ khác vectơ-không là $\overrightarrow {AB} $, $\overrightarrow {BA} .$
Mà từ năm đỉnh $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ của ngũ giác ta có $10$ cặp điểm phân biệt, do đó có $20$ vectơ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 2: Cho ba điểm $A$, $B$, $C$ phân biệt thẳng hàng.
a) Khi nào thì hai vectơ $\overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {AC} $ cùng hướng?
b) Khi nào thì hai vectơ $\overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {AC} $ ngược hướng?

a) $A$ nằm ngoài đoạn $BC.$
b) $A$ nằm trong đoạn $BC.$

Bài 3: Cho bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ phân biệt.
a) Nếu $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} $ thì có nhận xét gì về ba điểm $A$, $B$, $C.$
b) Nếu $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} $ thì có nhận xét gì về bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D.$

a) $B$ là trung điểm của $AC.$
b) $A$, $B$, $C$, $D$ thẳng hàng hoặc $ABCD$ là hình bình hành, hình thoi, hình vuông, hình chữ nhật.

Bài 4: Cho hình thoi $ABCD$ có tâm $O.$ Hãy cho biết khẳng định nào sau đây đúng?
a) $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} .$
b) $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} .$
c) $\overrightarrow {OA} = – \overrightarrow {OC} .$
d) $\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OA} .$
e) $\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right|.$
f) $2\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \left| {\overrightarrow {BD} } \right|.$

a) Sai.
b) Đúng.
c) Đúng.
d) Sai.
e) Đúng.
f) Sai.

Bài 5: Cho lục giác đều $ABCDEF$ tâm $O.$ Hãy tìm các vectơ khác vectơ-không có điểm đầu, điểm cuối là đỉnh của lục giác và tâm $O$ sao cho:
a) Bằng với $\overrightarrow {AB} .$
b) Ngược hướng với $\overrightarrow {OC} .$

a) $\overrightarrow {FO} $, $\overrightarrow {OC} $, $\overrightarrow {ED} .$
b) $\overrightarrow {CO} $, $\overrightarrow {OF} $, $\overrightarrow {BA} $, $\overrightarrow {DE} .$

Bài 6: Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$, tâm $O$ và $M$ là trung điểm $AB.$ Tính độ dài của các vectơ $\overrightarrow {AB} $, $\overrightarrow {AC} $, $\overrightarrow {OA} $, $\overrightarrow {OM} $, $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} .$

Ta có:
$\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB = a.$
$\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = a\sqrt 2 .$
$\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = OA = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.$
$\left| {\overrightarrow {OM} } \right| = OM = \frac{a}{2}.$
Gọi $E$ là điểm sao cho tứ giác $OBEA$ là hình bình hành, khi đó nó cũng là hình vuông.
Ta có:
$\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OE} $ $ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right| = OE = AB = a.$

Bài 7: Cho tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ và $G$ là trọng tâm. Gọi $I$ là trung điểm của $AG.$ Tính độ dài của các vectơ $\overrightarrow {AB} $, $\overrightarrow {AG} $, $\overrightarrow {BI} .$

Ta có: $\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB = a.$
Gọi $M$ là trung điểm của $BC.$
Ta có:
$\left| {\overrightarrow {AG} } \right| = AG = \frac{2}{3}AM$ $ = \frac{2}{3}\sqrt {A{B^2} – B{M^2}} $ $ = \frac{2}{3}\sqrt {{a^2} – \frac{{{a^2}}}{4}} $ $ = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.$
$\left| {\overrightarrow {BI} } \right| = BI = \sqrt {B{M^2} + M{I^2}} $ $ = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{3}} = \frac{{a\sqrt {21} }}{6}.$

Bài 8: Cho trước hai điểm $A$, $B$ phân biệt. Tìm tập hợp các điểm $M$ thoả mãn $\left| {\overrightarrow {MA} } \right| = \left| {\overrightarrow {MB} } \right|.$

$\left| {\overrightarrow {MA} } \right| = \left| {\overrightarrow {MB} } \right|$ $ \Leftrightarrow MA = MB$ $ \Rightarrow $ Tập hợp điểm $M$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB.$

DẠNG TOÁN 2: CHỨNG MINH HAI VECTƠ BẰNG NHAU.
1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Để chứng minh hai vectơ bằng nhau ta chứng minh chúng có cùng độ dài và cùng hướng, hoặc dựa vào nhận xét: nếu tứ giác $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} $ và $\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} .$

2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Cho tứ giác $ABCD.$ Gọi $M$, $N$, $P$, $Q$ lần lượt là trung điểm $AB$, $BC$, $CD$, $DA.$ Chứng minh rằng $\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {QP} .$

Do $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $BC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC.$
Suy ra $MN // AC$ và $MN = \frac{1}{2}AC$ $(1).$
Tương tự $QP$ là đường trung bình của tam giác $ADC$ suy ra $QP // AC$ và $QP = \frac{1}{2}AC$ $(2).$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $MN//QP$ và $MN = QP$ do đó tứ giác $MNPQ$ là hình bình hành.
Vậy ta có $\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {QP} .$

Ví dụ 2: Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G.$ Gọi $I$ là trung điểm của $BC.$ Dựng điểm $B’$ sao cho $\overrightarrow {B’B} = \overrightarrow {AG} .$
a) Chứng minh rằng $\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {IC} .$
b) Gọi $J$ là trung điểm của $BB’.$ Chứng minh rằng $\overrightarrow {BJ} = \overrightarrow {IG} .$

a) Vì $I$ là trung điểm của $BC$ nên $BI = CI$ và $\overrightarrow {BI} $ cùng hướng với $\overrightarrow {IC} $, do đó hai vectơ $\overrightarrow {BI} $, $\overrightarrow {IC} $ bằng nhau hay $\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {IC} .$
b) Ta có $\overrightarrow {B’B} = \overrightarrow {AG} $ suy ra $B’B = AG$ và $BB’ // AG.$
Do đó $\overrightarrow {BJ} $, $\overrightarrow {IG} $ cùng hướng $(1).$
Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $IG = \frac{1}{2}AG$, $J$ là trung điểm $BB’$ suy ra $BJ = \frac{1}{2}BB’.$
Vì vậy $BJ = IG$ $(2).$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta có $\overrightarrow {BJ} = \overrightarrow {IG} .$

Ví dụ 3: Cho hình bình hành $ABCD.$ Trên các đoạn thẳng $DC$, $AB$ theo thứ tự lấy các điểm $M$, $N$ sao cho $DM = BN.$ Gọi $P$ là giao điểm của $AM$, $DB$ và $Q$ là giao điểm của $CN$, $DB.$ Chứng minh rằng $\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {NC} $ và $\overrightarrow {DP} = \overrightarrow {QB} .$

Ta có $DM = BN$ $ \Rightarrow AN = MC$, mặt khác $AN$ song song với $MC$, do đó tứ giác $ANCM$ là hình bình hành.
Suy ra $\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {NC} .$
Xét tam giác $\Delta DMP$ và $\Delta BNQ$ ta có:
$DM = NB$ (giả thiết).
$\widehat {PDM} = \widehat {QBN}$ (so le trong).
Mặt khác $\widehat {DPM} = \widehat {APB}$ (đối đỉnh) và $\widehat {APQ} = \widehat {NQB}$ (hai góc đồng vị), suy ra $\widehat {DMP} = \widehat {BNQ}.$
Do đó: $\Delta DMP = \Delta BNQ$ (c.g.c), suy ra $DP = QB.$
Dễ thấy $\overrightarrow {DP} $, $\overrightarrow {QB} $ cùng hướng, vì vậy $\overrightarrow {DP} = \overrightarrow {QB} .$

3. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 9: Cho tứ giác $ABCD.$ Gọi $M$, $N$, $P$, $Q$ lần lượt là trung điểm $AB$, $BC$, $CD$, $DA.$ Chứng minh rằng $\overrightarrow {MQ} = \overrightarrow {NP} .$

Do $M$, $Q$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AD$ nên $MQ$ là đường trung bình của tam giác $ABD$, suy ra $MQ//BD$ và $MQ = \frac{1}{2}BD$ $(1).$
Tương tự $NP$ là đường trung bình của tam giác $CBD$, suy ra $NP//BD$ và $NP = \frac{1}{2}BD$ $(2).$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $MQ//NP$ và $NP = MQ$, do đó tứ giác $MNPQ$ là hình bình hành.
Vậy ta có $\overrightarrow {MQ} = \overrightarrow {NP} .$

Bài 10: Cho hình bình hành $ABCD.$ Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $DC$, $AB$, $P$ là giao điểm của $AM$, $DB$ và $Q$ là giao điểm của $CN$, $DB.$ Chứng minh rằng $\overrightarrow {DM} = \overrightarrow {NB} $ và $\overrightarrow {DP} = \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {QB} .$

Ta có tứ giác $DMBN$ là hình bình hành vì $DM = NB = \frac{1}{2}AB$, $DM//NB.$
Suy ra $\overrightarrow {DM} = \overrightarrow {NB} .$
Xét tam giác $CDQ$ có $M$ là trung điểm của $DC$ và $MP//QC$, do đó là trung điểm của $DQ.$
Tương tự xét tam giác $ABP$ suy ra được $Q$ là trung điểm của $PB.$
Vì vậy $DP=PQ=QB$ từ đó suy ra $\overrightarrow {DP} = \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {QB} .$

Bài 11: Cho hình thang $ABCD$ có hai đáy là $AB$ và $CD$ với $AB = 2CD.$ Từ $C$ vẽ $\overrightarrow {CI} = \overrightarrow {DA} .$ Chứng minh rằng:
a) $\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {IC} $ và $\overrightarrow {DI} = \overrightarrow {CB} .$
b) $\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {IB} = \overrightarrow {DC} .$

a) Ta có $\overrightarrow {CI} = \overrightarrow {DA} $ suy ra $AICD$ là hình bình hành.
$ \Rightarrow \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {IC} .$
Ta có $DC = AI$ mà $AB = 2CD$ do đó $AI = \frac{1}{2}AB.$
$ \Rightarrow I$ là trung điểm $AB.$
Ta có $DC = IB$ và $DC//IB$ nên tứ giác $BCDI$ là hình bình hành.
Suy ra $\overrightarrow {DI} = \overrightarrow {CB} .$
b) $I$ là trung điểm của $AB$ $ \Rightarrow \overrightarrow {AI} = \overrightarrow {IB} $ và tứ giác $BCDI$ là hình bình hành.
$ \Rightarrow \overrightarrow {IB} = \overrightarrow {DC} $, suy ra $\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {IB} = \overrightarrow {DC} .$

Bài 12: Cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H$ và $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi $B’$ là điểm đối xứng $B$ qua $O.$ Chứng minh: $\overrightarrow {AH} = \overrightarrow {B’C} .$

Ta có:
$B’C \bot BC$, $AH \bot BC$ $ \Rightarrow B’C//AH.$
$B’A \bot BA$ $CH \bot AB$ $ \Rightarrow B’A//CH.$
Suy ra $AHCB’$ là hình bình hành, do đó $\overrightarrow {AH} = \overrightarrow {B’C} .$