Ứng dụng của định lí Vi-ét

Bài viết trình bày một số ứng dụng của định lí Vi-ét trong việc giải các bài toán liên quan đến tam thức bậc hai và phương trình trình bậc hai.

**A. ĐỊNH LÍ VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
**1. Định lí Vi-ét đối với phương trình bậc hai: Hai số ${{x}_{1}}$ và ${{x}_{2}}$ là các nghiệm của phương trình bậc hai $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ khi và chỉ khi chúng thỏa mãn hệ thức ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}$ và ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a}.$
**2. Ứng dụng của định lí Vi-ét
**Một số ứng dụng của định lí Vi-ét:
• Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai.
• Phân tích đa thức thành nhân tử: Nếu đa thức $f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c$ có hai nghiệm ${{x}_{1}}$ và ${{x}_{2}}$ thì nó có thể phân tích thành nhân tử $f\left( x \right)=a\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)$.
• Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tổng là $\text{S}$ và tích là $P$ thì chúng là nghiệm của phương trình ${{x}^{2}}-Sx+P=0$.
• Xét dấu của các nghiệm phương trình bậc hai:
Cho phương trình bậc hai $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ $(*)$, kí hiệu $\text{S}=-\frac{b}{a}$, $P=\frac{c}{a}$ khi đó:
+ Phương trình $(*)$ có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi $P<0.$
+ Phương trình $(*)$ có hai nghiệm dương khi và chỉ khi $\left\{ \begin{matrix}
\Delta \ge 0 \\
\begin{align}
& P>0 \\
& S>0 \\
\end{align} \\
\end{matrix} \right.$
+ Phương trình $(*)$ có hai nghiệm âm khi và chỉ khi $\left\{ \begin{matrix}
\Delta \ge 0 \\
\begin{align}
& P>0 \\
& S<0 \\
\end{align} \\
\end{matrix} \right.$

**B. CÁC DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG ĐỊNH LÍ VI-ÉT
****Dạng toán 1. Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai.
**Ví dụ 1. Cho phương trình $2{{x}^{2}}-mx+5=0$. Biết phương trình có một nghiệm là $2$. Tìm $m$ và tìm nghiệm còn lại.

Cách 1: Vì phương trình có nghiệm nên theo hệ thức Vi-ét ta có ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{5}{2}.$
Giả sử ${{x}_{1}}=2$ suy ra ${{x}_{2}}=\frac{5}{4}.$
Mặt khác ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{m}{2}$ $\Rightarrow 2+\frac{5}{4}=\frac{m}{2}$ $\Rightarrow m=\frac{13}{2}$.
Vậy $m=\frac{13}{2}$ và nghiệm còn lại là $\frac{5}{2}.$
Cách 2. Thay $x=2$ vào phương trình ta được $8-2m+5=0$ $\Leftrightarrow m=\frac{13}{2}.$
Theo hệ thức Vi-ét ta có ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{5}{2}$ mà ${{x}_{1}}=2$ nên ${{x}_{2}}=\frac{5}{4}.$
Vậy $m=\frac{13}{2}$ và nghiệm còn lại là $\frac{5}{2}.$

Dạng toán 2. Phân tích đa thức thành nhân tử.
Ví dụ 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) $f(x)=3{{x}^{2}}-14x+8.$
b) $g(x)=-{{x}^{4}}+5{{x}^{2}}-4.$
c) $P(x;y)=6{{x}^{2}}-11xy+3{{y}^{2}}.$
d) $Q(x;y)=2{{x}^{2}}-2{{y}^{2}}-3xy+x-2y.$

a) Phương trình $3{{x}^{2}}-14x+8=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=\frac{2}{3} \\
x=4 \\
\end{matrix} \right.$
Suy ra $f(x)=3\left( x-\frac{2}{3} \right)\left( x-4 \right)$ $=\left( 3x-2 \right)\left( x-4 \right).$
b) Phương trình $-{{x}^{4}}+5{{x}^{2}}-4=0$ $\Leftrightarrow -{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{2}}+5{{x}^{2}}-4=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
{{x}^{2}}=1 \\
{{x}^{2}}=4 \\
\end{matrix} \right.$
Suy ra $g(x)=-\left( {{x}^{2}}-1 \right)\left( {{x}^{2}}-4 \right)$ $=-\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)\left( x+2 \right).$
c) Xét phương trình $6{{x}^{2}}-11xy+3{{y}^{2}}=0$ ẩn $x.$
Ta có: ${{\Delta }_{x}}={{\left( 11y \right)}^{2}}-4.18{{y}^{2}}=49{{y}^{2}}.$
Suy ra phương trình có nghiệm là $x=\frac{11y\pm 7y}{12}$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=\frac{y}{3} \\
x=\frac{3y}{2} \\
\end{matrix} \right.$
Do đó $P(x;y)=6\left( x-\frac{y}{3} \right)\left( x-\frac{3y}{2} \right)$ $=\left( 3x-y \right)\left( 2x-3y \right).$
d) Xét phương trình ẩn $x$ sau: $2{{x}^{2}}-2{{y}^{2}}-3xy+x-2y=0$ $\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+\left( 1-3y \right)x-2{{y}^{2}}-2y=0.$
Ta có: ${{\Delta }_{x}}={{\left( 1-3y \right)}^{2}}-8\left( -2{{y}^{2}}-2y \right)$ $=25{{y}^{2}}+10y+1$ $={{\left( 5y+1 \right)}^{2}}.$
Suy ra phương trình có nghiệm là $x=\frac{3y-1\pm \left( 5y+1 \right)}{4}$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=2y \\
x=\frac{-y-1}{2} \\
\end{matrix} \right.$
Do đó $Q(x;y)=2\left( x-2y \right)\left( x-\frac{-y-1}{2} \right)$ $=\left( x-2y \right)\left( 2x+y+1 \right).$

Ví dụ 3. Phân tích đa thức $f\left( x \right)={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}-x+{{m}^{2}}-m$ thành tích của hai tam thức bậc hai ẩn $x.$

Ta có $f\left( x \right)=0$ $\Leftrightarrow {{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}-x+{{m}^{2}}-m=0$ $\Leftrightarrow {{m}^{2}}-\left( 2{{x}^{2}}+1 \right)m+{{x}^{4}}-x=0.$
${{\Delta }_{m}}={{\left( 2{{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}-4\left( {{x}^{4}}-x \right)$ $=4{{x}^{2}}+4x+1={{\left( 2x+1 \right)}^{2}}.$
Suy ra $f\left( x \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m=\frac{2{{x}^{2}}+1+2x+1}{2}={{x}^{2}}+x+1 \\
m=\frac{2{{x}^{2}}+1-2x-1}{2}={{x}^{2}}-x \\
\end{matrix} \right.$
Vậy $f\left( x \right)=\left( m-{{x}^{2}}-x-1 \right)\left( m-{{x}^{2}}+x \right).$

**Dạng toán 3. Bài toán liên quan đến biểu thức đối xứng hai nghiệm ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ của phương trình bậc hai.
**Ví dụ 4. Cho phương trình ${{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+{{m}^{2}}+2=0$ với $m$là tham số. Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm ${{x}_{1}}$,${{x}_{2}}$ sao cho:
a) $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=2{{x}_{1}}{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right).$
b) $\left| x_{1}^{4}-x_{2}^{4} \right|=16{{m}^{2}}+64m.$
c) $A={{x}_{1}}{{x}_{2}}-2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)-6$ đạt giá trị nhỏ nhất.
d) $B=\sqrt{2\left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right)+16}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}$ đạt giá trị lớn nhất.

Ta có phương trình có hai nghiệm ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ khi và chỉ khi $\Delta’\ge 0$ $\Leftrightarrow {{\left( m+1 \right)}^{2}}-\left( {{m}^{2}}+2 \right)\ge 0$ $\Leftrightarrow m\ge \frac{1}{2}.$
Theo định lí Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{matrix}
{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m+2 \\
{{x}_{1}}.{{x}_{2}}={{m}^{2}}+2 \\
\end{matrix} \right.$
a) Ta có $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}$ $={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{3}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right).$
Suy ra $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=2{{x}_{1}}{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)$ $\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{3}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)$ $=2{{x}_{1}}{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)$ $\Leftrightarrow \left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-5{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]=0.$
Suy ra $\left( 2m+2 \right)\left[ {{\left( 2m+2 \right)}^{2}}-5\left( {{m}^{2}}+2 \right) \right]=0$ $\Leftrightarrow 2\left( m+1 \right)\left( -{{m}^{2}}+8m-6 \right)=0$  $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{m + 1 = 0}\\
{ – {m^2} + 8m – 6 = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{m = – 1}\\
{m = 4 \pm \sqrt {10} }
\end{array}} \right.$
Đối chiếu với điều kiện $m \ge \frac{1}{2}$ ta thấy chỉ có $m=4\pm \sqrt{10}$ thỏa mãn.
Vậy $m=4\pm \sqrt{10}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
b) Ta có $\left| x_{1}^{4}-x_{2}^{4} \right|$ $=\left| \left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right)\left( x_{1}^{2}-x_{2}^{2} \right) \right|$ $=\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|\left| {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right|.$
Mà: $\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|$ $=\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}}$ $=\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}$ $=\sqrt{{{\left( 2m+2 \right)}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}+2 \right)}$ $=\sqrt{8m-4}.$
Suy ra: $\left| x_{1}^{4}-x_{2}^{4} \right|$ $=\left[ {{\left( 2m+2 \right)}^{2}}-2\left( {{m}^{2}}+2 \right) \right]$$\sqrt{8m-4}\left| 2m+2 \right|$ $=\left( 2{{m}^{2}}+8m \right)\sqrt{8m-4}\left| 2m+2 \right|.$
Suy ra $\left| x_{1}^{4}-x_{2}^{4} \right|$ $=16{{m}^{2}}+64m$ $\Leftrightarrow \left( 2{{m}^{2}}+8m \right)\sqrt{8m-4}\left| 2m+2 \right|$ $=16{{m}^{2}}+64m$ $ \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 4m} \right)\left( {\sqrt {8m – 4} \left| {2m + 2} \right| – 8} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{m^2} + 4m = 0\:(1)}\\
{\sqrt {8m – 4} \left| {2m + 2} \right| = 8\:(2)}
\end{array}} \right.$
Ta có:
$\left( 1 \right)$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m=0 \\
m=-4 \\
\end{matrix} \right.$ (loại).
$\left( 2 \right)$ $\Leftrightarrow \left( 8m-4 \right){{\left( 2m+2 \right)}^{2}}=64$ $\Leftrightarrow 32{{m}^{3}}+48{{m}^{2}}-80=0$ $\Leftrightarrow m=1$ (thỏa mãn điều kiện $m \ge \frac{1}{2}$).
Vậy $m=1$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
c) Ta có $A={{x}_{1}}{{x}_{2}}-2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)-6$ $={{m}^{2}}+2-2\left( 2m+2 \right)-6$ $={{m}^{2}}-4m-8.$
$\Rightarrow A={{\left( m-2 \right)}^{2}}-12\ge -12.$
Suy ra $\min A=-12$ $\Leftrightarrow m=2$ (thỏa mãn điều kiện $m \ge \frac{1}{2}$).
Vậy với $m=2$ thì biểu thức $A$ đạt giá trị nhỏ nhất.
d) Ta có: $B=\sqrt{2\left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right)+16}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}$ $=\sqrt{2{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}+16}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}$ $=\sqrt{2{{\left( 2m+2 \right)}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}+2 \right)+16}-3\left( {{m}^{2}}+2 \right)$ $=\sqrt{4{{m}^{2}}+16m+16}-3\left( {{m}^{2}}+2 \right)$ $=2m+4-3\left( {{m}^{2}}+2 \right)$ $=-3{{m}^{2}}+2m-2.$
Xét hàm số $y=-3{{m}^{2}}+2m-2$ với $m\ge \frac{1}{2}.$
Bảng biến thiên:

Suy ra giá trị $\underset{m\ge \frac{1}{2}}{\mathop{\max y}}=-\frac{7}{4}$ khi $m=\frac{1}{2}.$
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $B$ là $-\frac{7}{4}$ khi $m=\frac{1}{2}.$

Ví dụ 5. Cho phương trình ${{x}^{2}}-mx+m-1=0$ với $m$ là tham số.
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi $m.$
b) Gọi ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình. Tìm hệ thức liên hệ giữa ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ không phụ thuộc vào $m.$
c) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức $A=\frac{2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+3}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2({{x}_{1}}{{x}_{2}}+1)}.$

a) Ta có $\Delta ={{m}^{2}}-4\left( m-1 \right)$ $={{\left( m-2 \right)}^{2}}~\ge 0$ nên phương trình có nghiệm với mọi giá trị của $m.$
b) Theo hệ thức Vi-ét ta có: ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=m$ và ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=m-1.$
Suy ra hệ thức liên hệ giữa ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ không phụ thuộc vào $m$ là ${{x}_{1}}{{x}_{2}}={{x}_{1}}+{{x}_{2}}-1.$
c) Ta có $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ $={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}$ $={{m}^{2}}-2m+2.$
Suy ra $A=\frac{2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+3}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2({{x}_{1}}{{x}_{2}}+1)}$ $=\frac{2m+1}{{{m}^{2}}+2}.$
Vì $A-1=\frac{2m+1}{{{m}^{2}}+2}-1$ $=\frac{2m+1-{{m}^{2}}-2}{{{m}^{2}}+2}$ $=-\frac{{{\left( m-1 \right)}^{2}}}{{{m}^{2}}+2}\le 0$, $\forall m$ $\Rightarrow A\le 1$, $\forall m.$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $m=1.$
Và $A+\frac{1}{2}$ $=\frac{2m+1}{{{m}^{2}}+2}+\frac{1}{2}$ $=\frac{2\left( 2m+1 \right)+{{m}^{2}}+2}{2\left( {{m}^{2}}+2 \right)}$ $=\frac{{{\left( m+2 \right)}^{2}}}{2\left( {{m}^{2}}+2 \right)}\ge 0$, $\forall m$ $\Rightarrow A\ge -\frac{1}{2}$, $\forall m.$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $m=-2.$
Vậy $\max A=1$ khi và chỉ khi $m=1$, $\min A=-\frac{1}{2}$ khi và chỉ khi $m=-2.$

**C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
**1. Đề bài
Bài toán 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) $f(x)=2{{x}^{2}}-5x+3.$
b) $g(x)=2{{x}^{4}}-14{{x}^{2}}-36.$
c) $P(x;y)=3{{x}^{2}}-5xy-2{{y}^{2}}.$
d) $Q(x;y)={{x}^{2}}-2{{y}^{2}}-xy-3y-1.$

Bài toán 2. Phân tích đa thức $f\left( x \right)=2{{x}^{3}}+\left( m+1 \right){{x}^{2}}+2mx+{{m}^{2}}+m$ (biến $x$ và tham số $m$) thành tích một đa thức bậc hai và một đa thức bậc nhất.

Bài toán 3. Gọi ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình: $-{{x}^{2}}+3x+1=0$. Tính giá trị của các biểu thức:
$A=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}.$
$B=x_{1}^{3}\left( {{x}_{1}}-1 \right)+x_{2}^{3}\left( {{x}_{2}}-1 \right).$
$C=\left| \frac{1}{x_{1}^{2}}-\frac{1}{x_{2}^{2}} \right|.$

Bài toán 4. Tìm $m$ để phương trình $3{{x}^{2}}+4\left( m-1 \right)x+{{m}^{2}}-4m+1=0$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ thỏa mãn: $\frac{1}{{{x}_{1}}}+\frac{1}{{{x}_{2}}}=\frac{1}{2}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right).$

Bài toán 5. Cho phương trình ${{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+{{m}^{2}}-3=0$ với $m$ là tham số. Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm ${{x}_{1}}$; ${{x}_{2}}$ sao cho:
a) ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2{{x}_{1}}{{x}_{2}}.$
b) $A=2\left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right)-{{x}_{1}}{{x}_{2}}$ đạt giá trị lớn nhất.
c) $B=\frac{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

2. Hướng dẫn giải và đáp số
Bài toán 1.
a) Phương trình $2{{x}^{2}}-5x+3=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=\frac{3}{2} \\
x=1 \\
\end{matrix} \right.$
Suy ra $f(x)=\left( 2x-3 \right)\left( x-1 \right).$
b) $g(x)=2\left( {{x}^{2}}+2 \right)\left( {{x}^{2}}-9 \right)$ $=2\left( {{x}^{2}}+2 \right)\left( x-3 \right)\left( x+3 \right).$
c) $P(x;y)=\left( x-2y \right)\left( 3x+y \right).$
d) $Q(x;y)=\left( x-2y-1 \right)\left( x+y+1 \right).$

Bài toán 2. $f\left( x \right) = ({x^2} + m)(2x + m + 1).$

Bài toán 3. Ta có $\Delta ={{3}^{2}}+4=13>0$ nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}.$
Theo định lí Vi-ét ta có: ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3$, ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=-1.$
Khi đó: $A=11$, $B=83$, $C=3\sqrt{13}.$

Bài toán 4.
Trước hết phương trình phải có hai nghiệm khác $0$ nên: $\left\{ \begin{align}
& \Delta’={{m}^{2}}+4m+1>0 \\
& \frac{c}{a}=\frac{{{m}^{2}}-4m+1}{3} e 0 \\
\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& {{m}^{2}}+4m+1>0 \\
& {{m}^{2}}-4m+1 e 0 \\
\end{align} \right.$ $(*).$
Khi đó theo định lí Vi-ét ta có: ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{4\left( 1-m \right)}{3}$, ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{{{m}^{2}}-4m+1}{3}.$
Ta có: $\frac{1}{{{x}_{1}}}+\frac{1}{{{x}_{2}}}=\frac{1}{2}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)$ $\Leftrightarrow \left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}}-2 \right)=0$ (vì ${{x}_{1}}{{x}_{2}} e 0$) $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=0 \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}-2=0 \\
\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& m=1 \\
& {{m}^{2}}-4m-5=0 \\
\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow m=1$, $m=-1$, $m=5.$
Thay vào $(*)$ ta thấy $m=-1$ không thỏa mãn.
Vậy $m=1$, $m=5$ là giá trị cần tìm.

Bài toán 5. Ta có phương trình có hai nghiệm ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ khi và chỉ khi $\Delta’\ge 0$ $\Leftrightarrow {{\left( m-1 \right)}^{2}}-\left( {{m}^{2}}-3 \right)\ge 0$ $\Leftrightarrow m\le 2.$
Theo định lí Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{matrix}
{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m-2 \\
{{x}_{1}}.{{x}_{2}}={{m}^{2}}-3 \\
\end{matrix} \right.$
a) ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2{{x}_{1}}{{x}_{2}}$ $\Leftrightarrow 2m-2=2\left( {{m}^{2}}-3 \right)$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m=-1 \\
m=2 \\
\end{matrix} \right.$ (thỏa mãn điều kiện $m\le 2$).
b) $A=2{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-5{{x}_{1}}{{x}_{2}}$ $=2\left( 2m-2 \right)-5\left( {{m}^{2}}-3 \right)$ $=-5{{m}^{2}}+4m+11$ $=-5{{\left( m-\frac{2}{5} \right)}^{2}}+3\le 3.$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $m=\frac{2}{5}.$
c) $B=\frac{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}}$ $=\frac{{{m}^{2}}-3}{{{\left( 2m-2 \right)}^{2}}-3\left( {{m}^{2}}-3 \right)}$ $=\frac{{{m}^{2}}-3}{{{m}^{2}}-8m+13}.$
Suy ra $\min B=-\frac{1}{3}$ khi và chỉ khi $m=1.$