Hệ phương trình đối xứng loại 2
Bài viết hướng dẫn nhận dạng và cách giải hệ phương trình đối xứng loại 2 cùng các bài toán có liên quan đến hệ phương trình đối xứng loại 2.
**I. LÝ THUYẾT CẦN NẮM
**1. Định nghĩa: Hệ phương trình đối xứng loại 2 là hệ phương trình có dạng: $\left\{ \begin{array}{l}
f\left( {x;y} \right) = a\\
f\left( {y;x} \right) = a
\end{array} \right.$ $(*).$
2. Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 2:
Trừ hai phương trình của hệ cho nhau ta được: $f\left( {x;y} \right) – f\left( {y;x} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left( {x – y} \right)g\left( {x;y} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = y\\
g\left( {x;y} \right) = 0
\end{array} \right.$
3. Chú ý:
+ Nếu hệ phương trình $(*)$ có nghiệm $\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ thì $\left( {{y}_{0}};{{x}_{0}} \right)$ cũng là nghiệm của hệ phương trình $(*)$. Từ đó suy ra, nếu hệ phương trình $(*)$ có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là ${{x}_{0}}={{y}_{0}}.$
+ $f\left( {x;y} \right) + f\left( {y;x} \right) = 2a$ là một phương trình đối xứng.
**II. VÍ DỤ MINH HỌA
**Ví dụ 1. Giải các hệ phương trình sau:
1. $\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} = 3x + 2y\\
{y^2} = 3y + 2x
\end{array} \right.$
2. $\left\{ \begin{array}{l}
{x^3} + 1 = 2y\\
{y^3} + 1 = 2x
\end{array} \right.$
1. Trừ vế với vế hai phương trình của hệ, ta được:
${x^2} – {y^2} = x – y$ $ \Leftrightarrow \left( {x – y} \right)\left( {x + y – 1} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = y\\
x = 1 – y
\end{array} \right.$
+ Với $x = y \Rightarrow {x^2} = 3x$ $ \Leftrightarrow x = 0,x = 3.$
+ Với $x = 1 – y$ $ \Rightarrow {y^2} = 3y + 2\left( {1 – y} \right)$ $ \Leftrightarrow {y^2} – y – 2 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = – 1 \Rightarrow x = 2\\
y = 2 \Rightarrow x = – 1
\end{array} \right.$
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: $\left( {x;y} \right) = \left( {0;0} \right),\left( {3;3} \right)$, $\left( { – 1;2} \right),\left( {2; – 1} \right).$
2. Trừ hai phương trình của hệ, ta được:
${x^3} – {y^3} = 2\left( {y – x} \right)$ $ \Leftrightarrow \left( {x – y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} + 2} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow x = y$ (do ${x^2} + xy + {y^2} + 2 > 0$, $\forall x,y$).
Thay vào hệ phương trình, ta được:
${x^3} + 1 = 2x$ $ \Leftrightarrow \left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + x – 1} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow x = 1$, $x = \frac{{ – 1 \pm \sqrt 5 }}{2}.$
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: $\left[ \begin{array}{l}
x = y = 1\\
x = y = \frac{{ – 1 \pm \sqrt 5 }}{2}
\end{array} \right.$
Ví dụ 2. Giải các hệ phương trình sau:
1. $\left\{ \begin{array}{l}
\frac{3}{{{x^2}}} = 2x + y\\
\frac{3}{{{y^2}}} = 2y + x
\end{array} \right.$
2. $\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {x + 9} + \sqrt {y – 7} = 8\\
\sqrt {y + 9} + \sqrt {x – 7} = 8
\end{array} \right.$
1. Điều kiện: $x,y e 0.$
Hệ phương trình $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2{x^3} + {x^2}y = 3\\
2{y^3} + {y^2}x = 3
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow 2\left( {{x^3} – {y^3}} \right) + xy\left( {x – y} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left( {x – y} \right)\left( {2{x^2} + 3xy + 2{y^2}} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow x = y$ (do $2{x^2} + 3xy + 2{y^2}$ $ = 2{\left( {x + \frac{3}{4}y} \right)^2} + \frac{7}{8}{y^2} > 0$).
Thay vào hệ phương trình, ta được: $3{x^3} = 3$ $ \Leftrightarrow x = 1 = y.$
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $x=y=1.$
2. Điều kiện: $x,y \ge 7.$
Trừ hai phương trình của hệ, ta được:
$\sqrt {x + 9} + \sqrt {y – 7} $ $ = \sqrt {y + 9} + \sqrt {x – 7} $ $ \Leftrightarrow \sqrt {\left( {x + 9} \right)\left( {y – 7} \right)} $ $ = \sqrt {\left( {y + 9} \right)\left( {x – 7} \right)} $ $ \Leftrightarrow x = y.$
Thay vào hệ phương trình, ta được:
$\sqrt {x + 9} + \sqrt {x – 7} = 8$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {x + 9} + \sqrt {x – 7} = 8\\
\sqrt {x + 9} – \sqrt {x – 7} = 2
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {x + 9} = 5\\
\sqrt {x – 7} = 3
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow x = 16.$
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: $x=y=16.$
Ví dụ 3. Giải các hệ phương trình sau:
1. $\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt x + \sqrt {2 – y} = 2\\
\sqrt y + \sqrt {2 – x} = 2
\end{array} \right.$
2. $\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {5x + 1} + \sqrt {12 – y} = 7\\
\sqrt {5y + 1} + \sqrt {12 – x} = 7
\end{array} \right.$
1. Điều kiện: $0 \le x,y \le 2.$
Trừ hai phương trình của hệ, ta được:
$\sqrt x – \sqrt {2 – x} $ $ = \sqrt y – \sqrt {2 – y} $ $\left( * \right).$
Do hàm số $f\left( t \right) = \sqrt t + \sqrt {2 – t} $ là một hàm liên tục và đồng biến trên $(0;2).$
Nên $\left( * \right) \Leftrightarrow f(x) = f(y)$ $ \Leftrightarrow x = y.$
Thay vào hệ phương trình, ta có:
$\sqrt x + \sqrt {2 – x} = 2$ $ \Leftrightarrow \sqrt {x\left( {2 – x} \right)} = 1$ $ \Leftrightarrow x = 1.$
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: $x=y=1.$
2. Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}
– \frac{1}{5} \le x \le 12\\
– \frac{1}{5} \le y \le 12
\end{array} \right.$
Trừ hai phương trình của hệ, ta được:
$\sqrt {5x + 1} – \sqrt {12 – x} $ $ = \sqrt {5y + 1} – \sqrt {12 – y} $ $(*).$
Xét hàm số: $f\left( t \right) = \sqrt {5t + 1} – \sqrt {12 – t} $, $t \in \left[ { – \frac{1}{5};12} \right]$, ta có:
$f’\left( x \right) = \frac{5}{{2\sqrt {5t + 1} }} + \frac{1}{{2\sqrt {12 – t} }} > 0$, $\forall t \in \left( { – \frac{1}{5};12} \right).$
Suy ra: $\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = f\left( y \right)$ $ \Leftrightarrow x = y.$
Thay $x=y$ vào hệ phương trình, ta được:
$\sqrt {5x + 1} + \sqrt {12 – x} = 7$ $ \Leftrightarrow 4x + 13$ $ + 2\sqrt {\left( {5x + 1} \right)\left( {12 – x} \right)} = 49$ $ \Leftrightarrow \sqrt { – 5{x^2} + 59x + 12} = 18 – 2x$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \le 9\\
9{x^2} – 131x + 312 = 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow x = 3.$
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $x=y=3.$
Ví dụ 4. Giải các hệ phương trình sau:
1. $\left\{ \begin{array}{l}
{x^3} = 2x + y\\
{y^3} = 2y + x
\end{array} \right.$
2. $\left\{ \begin{array}{l}
\left( {x – 1} \right)\left( {{y^2} + 6} \right) = y\left( {{x^2} + 1} \right)\\
\left( {y – 1} \right)\left( {{x^2} + 6} \right) = x\left( {{y^2} + 1} \right)
\end{array} \right.$
1. Trừ hai phương trình của hệ, ta được:
${x^3} – {y^3} = x – y$ $ \Leftrightarrow \left( {x – y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} – 1} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = y\\
{x^2} + xy + {y^2} – 1 = 0
\end{array} \right.$
+ Với $x=y$, thay vào hệ phương trình, ta được: ${x^3} = 3x$ $ \Leftrightarrow x = 0$, $x = \pm \sqrt 3 .$
+ Với ${x^2} + xy + {y^2} = 1$ $\left( 1 \right)$, cộng hai phương trình của hệ phương trình, ta có: ${x^3} + {y^3} – 3\left( {x + y} \right) = 0$ $\left( 2 \right).$
Từ $(1)$ và $(2)$, ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + xy + {y^2} – 1 = 0\\
{x^3} + {y^3} – 3\left( {x + y} \right) = 0
\end{array} \right.$
Đặt $S=x+y$, $P=xy$, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
{S^2} – P – 1 = 0\\
{S^3} – 3SP – 3S = 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
P = {S^2} – 1\\
{S^3} – 3S\left( {{S^2} – 1} \right) – 3S = 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
S = 0\\
P = – 1
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y = – 1
\end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l}
x = – 1\\
y = 1
\end{array} \right.$
Vậy hệ phương trình đã cho có các nghiệm: $\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
y = 0
\end{array} \right.$, $\left\{ \begin{array}{l}
x = – 1\\
y = 1
\end{array} \right.$, $\left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y = – 1
\end{array} \right.$, $\left\{ \begin{array}{l}
x = \sqrt 3 \\
y = \sqrt 3
\end{array} \right.$, $\left\{ \begin{array}{l}
x = – \sqrt 3 \\
y = – \sqrt 3
\end{array} \right.$
2. Hệ phương trình $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x{y^2} + 6x – {y^2} – 6 = y{x^2} + y\\
y{x^2} + 6y – {x^2} – 6 = x{y^2} + x
\end{array} \right.$
Trừ vế theo vế hai phương trình của hệ, ta được:
$2xy\left( {y – x} \right) + 7\left( {x – y} \right)$ $ + \left( {x – y} \right)\left( {x + y} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left( {x – y} \right)\left( {x + y – 2xy + 7} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = y\\
x + y – 2xy + 7 = 0
\end{array} \right.$
+ Với $x=y$, thay vào hệ phương trình, ta được: ${x^2} – 5x + 6 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = y = 2\\
x = y = 3
\end{array} \right.$
+ Với $x+y-2xy+7=0$ $(1)$, cộng hai phương trình của hệ đã cho, ta được: ${x^2} + {y^2} – 5x – 5y + 12 = 0$ $\left( 2 \right).$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}
x + y – 2xy + 7 = 0\\
{x^2} + {y^2} – 5x – 5y + 12 = 0
\end{array} \right.$
Đặt $S=x+y$, $P=xy$, ta có hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}
S – 2P + 7 = 0\\
{S^2} – 5S – 2P + 12 = 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
P = \frac{{S + 7}}{2}\\
{S^2} – 6S + 5 = 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
S = 1\\
P = 4
\end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l}
S = 5\\
P = 6
\end{array} \right.$
+ Với $\left\{ \begin{array}{l}
S = 1\\
P = 4
\end{array} \right.$, ta thấy hệ vô nghiệm.
+ Với $\left\{ \begin{array}{l}
S = 5\\
P = 6
\end{array} \right.$, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
y = 3
\end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l}
x = 3\\
y = 2
\end{array} \right.$
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là: $\left( {x;y} \right) = \left( {2;2} \right),\left( {3;3} \right)$, $\left( {2;3} \right),\left( {3;2} \right).$
Ví dụ 5. Tìm $m$ để hệ phương trình sau có nghiệm: $\left\{ \begin{array}{l}
2x + \sqrt {y – 1} = m\\
2y + \sqrt {x – 1} = m
\end{array} \right.$
Điều kiện: $x,y \ge 1$. Đặt $a = \sqrt {x – 1} $, $b = \sqrt {y – 1} $ $ \Rightarrow a,b \ge 0$, ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}
2{a^2} + b = m – 2\\
2{b^2} + a = m – 2
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow 2\left( {a – b} \right)\left( {a + b} \right)$ $ + b – a = 0$ $ \Leftrightarrow \left( {a – b} \right)\left( {2a + 2b – 1} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = b\\
a = \frac{{1 – 2b}}{2}
\end{array} \right.$
+ Với $a = b$ $ \Rightarrow 2{a^2} + a = m – 2$ $ \Rightarrow $ Phương trình có nghiệm $a \ge 0$ $ \Leftrightarrow m – 2 \ge 0$ $ \Leftrightarrow m \ge 2.$
+ Với $a = \frac{{1 – 2b}}{2}$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
0 \le b \le \frac{1}{2}\\
4{b^2} – 2b = 2m – 5
\end{array} \right.$, hệ phương trình có nghiệm $ \Leftrightarrow – \frac{1}{4} \le 2m – 5 \le 0$ $ \Leftrightarrow \frac{{19}}{8} \le m \le \frac{5}{2}.$
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi $m \ge 2.$
Ví dụ 6. Tìm $m$ để các hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
1. $\left\{ \begin{array}{l}
x = {y^2} – y + m\\
y = {x^2} – x + m
\end{array} \right.$
2. $\left\{ \begin{array}{l}
3{x^2} = {y^3} – 2{y^2} + my\\
3{y^2} = {x^3} – 2{x^2} + mx
\end{array} \right.$
1. Điều kiện cần: Giả sử hệ có nghiệm $\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ thì $\left( {{y}_{0}};{{x}_{0}} \right)$ cũng là nghiệm của hệ nên để hệ có nghiệm duy nhất thì trước hết ${{x}_{0}}={{y}_{0}}.$
Thay vào hệ ta được: $x_0^2 – 2{x_0} + m = 0$, phương trình này có nghiệm duy nhất $ \Leftrightarrow \Delta’ = 1 – m = 0$ $ \Leftrightarrow m = 1.$
Điều kiện đủ: Với $m = 1$ hệ trở thành:
$\left\{ \begin{array}{l}
x = {y^2} – y + 1\\
y = {x^2} – x + 1
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow {x^2} + {y^2} – 2x – 2y + 2 = 0$ $ \Leftrightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} = 0$ $ \Leftrightarrow x = y = 1$ (thử lại ta thấy thỏa mãn hệ).
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi $m = 1.$
2. Điều kiện cần: Giả sử hệ có nghiệm $\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ thì $\left( {{y}_{0}};{{x}_{0}} \right)$ cũng là nghiệm của hệ nên để hệ có nghiệm duy nhất thì trước hết ${{x}_{0}}={{y}_{0}}.$
Thay vào hệ ta được: $x_0^3 – 5x_0^2 + m{x_0} = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_0} = 0\\
x_0^2 – 5{x_0} + m = 0\left( * \right)
\end{array} \right.$
Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì $(*)$ phải vô nghiệm hoặc có nghiệm kép $x = 0.$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\Delta = 25 – 4m < 0\\
\left\{ \begin{array}{l}
\Delta = 25 – 4m = 0\\
5 = 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow m > \frac{{25}}{4}.$
Điều kiện đủ: Với $m > \frac{{25}}{4}$, ta có:
$\left[ \begin{array}{l}
3{x^2} = y\left( {{y^2} – 2y + m} \right) = y\left[ {{{\left( {y – 1} \right)}^2} + m – 1} \right]\\
3{y^2} = x\left( {{x^2} – 2x + m} \right) = x\left[ {{{\left( {x – 1} \right)}^2} + m – 1} \right]
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow x,y \ge 0.$
Cộng hai phương trình của hệ với nhau, ta được:
$x\left( {{x^2} – 5x + m} \right)$ $ + y\left( {{y^2} – 5y + m} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow x\left[ {{{\left( {x – \frac{5}{2}} \right)}^2} + m – \frac{{25}}{4}} \right]$ $ + y\left[ {{{\left( {y – \frac{5}{2}} \right)}^2} + m – \frac{{25}}{4}} \right] = 0$ $ \Leftrightarrow x = y = 0.$
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi $m > \frac{{25}}{4}.$
Ví dụ 7. Chứng minh rằng hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}
2{x^2} = y + \frac{{{a^2}}}{y}\\
2{y^2} = x + \frac{{{a^2}}}{x}
\end{array} \right.$ có nghiệm duy nhất với mọi $a e 0.$
Điều kiện: $x e 0.$
Từ hai phương trình của hệ $ \Rightarrow x,y > 0.$
Hệ phương trình $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2{x^2}y = {y^2} + {a^2}\\
2{y^2}x = {x^2} + {a^2}
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow 2xy\left( {x – y} \right) = {y^2} – {x^2}$ $ \Leftrightarrow \left( {x – y} \right)\left( {2xy + x + y} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow x = y$ (do $x,y > 0$ $ \Rightarrow 2xy + x + y > 0$).
Thay vào hệ phương trình, ta được: ${a^2} = 2{x^3} – {x^2} = f\left( x \right)$ $(*).$
Xét hàm số: $f\left( x \right) = 2{x^3} – {x^2}$ với $x>0.$
Ta có: $f’\left( x \right) = 2x\left( {3x – 1} \right)$ $ \Rightarrow f’\left( x \right) = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}.$
Mà $f\left( 0 \right) = 0$, $f\left( {\frac{1}{3}} \right) = – \frac{1}{{27}}$ và ${a^2} > 0$ nên phương trình $(*)$ chỉ có duy nhất một nghiệm.
Vậy hệ đã cho luôn có nghiệm duy nhất với mọi $a e 0.$
